Beweise zum Komplexen Einheits < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IC [/mm] definiert durch f(x):=cos x + i sin x für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Weiter sei G:={z [mm] \in \IC [/mm] / |z| = 1 } Zeigen sie:
a) (G,*) ist abelsche Gruppe
b) Für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt f(x+y)=f(x) * f(y)
c)Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt f(-x) = [mm] \bruch{1}{f(x)}
[/mm]
d) Bild f = G |
Hallo liebe Community,
b) und c) habe ich bereits bewiesen und bin mir auch sicher das es richtig ist.
bei d) bin ich mir weniger sicher, wäre toll wenns sich jemand anschaut.
zu a) meinte unser Prof. , dass das aus b) und d) folgt. ich kann mir allerdings überhaupt nich vorstellen wie das gehen soll.
Kann mir das evt. jemand erklären?
hier erstmal mein ansatz zu d.
wir haben Bild f definiert als:
wenn f: X -> Y und U [mm] \subseteq [/mm] X dann gilt Bild f = f(U) := {f(x) / x [mm] \in [/mm] U}
meine lösung kommt nir noch ein bisschen komisch vor, da ich nur mit "umformungen" von Mengen arbeite.
Außerdem hatten wir in der VL 2 sachen noch nicht die ich hier benutze, allerdings in Analysis, ich kennzeichne sie rot.
1. Teil: G [mm] \subseteq [/mm] Bild f
Sei a [mm] \in [/mm] G
=> a [mm] \in \IC [/mm] , |a|=1
=> 1=|a|=r
a= n + i*m = r*cos(x) + i*r*sin(x)
=> a = cos(x) + i*sin(x) = f(x) / da r=1
nun gilt {cos(x) + i*sin(x)=a / x [mm] \in \IR} [/mm] = { f(x) / x [mm] \in \IR} [/mm] = Bild f
2. Teil Bild f [mm] \subseteq [/mm] G
Sei a [mm] \in [/mm] Bild f
=> a [mm] \in [/mm] {f(x) / x [mm] \in \IR [/mm] }
=> a [mm] \in [/mm] {cos(x) + i*sin(x) / x [mm] \in \IR} [/mm]
Anm: das beschreibt aber gerade den einheitskreis in [mm] \IC
[/mm]
=> a [mm] \in [/mm] {z [mm] \in\IC [/mm] / |z|=1 }
=> a [mm] \in [/mm] G
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IC[/mm] definiert durch f(x):=cos x + i sin x für
> alle x [mm]\in \IR.[/mm] Weiter sei [mm]G:=\{z \in \IC / |z| = 1\}[/mm] Zeigen
> sie:
>
> a) (G,*) ist abelsche Gruppe
> b) Für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt f(x+y)=f(x) * f(y)
> c)Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt f(-x) = [mm]\bruch{1}{f(x)}[/mm]
> d) Bild f = G
> Hallo liebe Community,
>
> b) und c) habe ich bereits bewiesen und bin mir auch sicher
> das es richtig ist.
>
> bei d) bin ich mir weniger sicher, wäre toll wenns sich
> jemand anschaut.
>
> zu a) meinte unser Prof. , dass das aus b) und d) folgt.
> ich kann mir allerdings überhaupt nich vorstellen wie das
> gehen soll.
> Kann mir das evt. jemand erklären?
Die Eigenschaft $b)$ bedeutet gerade, dass $f$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Tatsächlich ist die Sache etwas subtiler, denn die Aussage "f ist ein Gruppenhomomorphismus" macht natürlich keinen Sinn, da wir noch nicht wissen, dass $G$ wirklich eine Gruppe ist. Es ist vielmehr so, dass sich die Gruppenstruktur der abelschen Gruppe [mm] $(\IR, [/mm] +)$ durch die Abbildung automatisch auf das Bild von $f$, also G, überträgt. Zum Beispiel ist das Bild des neutralen Elementes von [mm] $(\IR,+)$ [/mm] unter f genau das neutrale Element von $(G,*)$, denn:
Wegen [mm] $\operatorname{Bild}(f)=G$ [/mm] kann ich jedes [mm] $g\in [/mm] G$ schreiben als $f(x)$ für ein [mm] $x\in\IR$. [/mm] Wegen eigenschaft b) ist aber $g=f(x)=f(x+0)=f(x)*f(1)=g*f(1)$, d.h. damit ist bewiesen dass $f(1)$ tatsächlich das neutrale Element in $(G,*)$ ist.
Auf ähnliche Weise zeigt man auch die anderen Gruppenaxiome. Dies ist natürlich noch kein Beweis, aber ich hoffe es genügt, um dir die wesentliche Idee erstmal näher zu bringen.
> hier erstmal mein ansatz zu d.
>
> wir haben Bild f definiert als:
>
> wenn f: X -> Y und U [mm]\subseteq[/mm] X dann gilt [mm]Bild f = f(U) := \{f(x) / x \in U\}[/mm]
Soweit so gut...
> meine lösung kommt nir noch ein bisschen komisch vor, da
> ich nur mit "umformungen" von Mengen arbeite.
> Außerdem hatten wir in der VL 2 sachen noch nicht die ich
> hier benutze, allerdings in Analysis, ich kennzeichne sie
> rot.
Umformungen von Mengen sind doof. Betrachte die Elemente von Mengen als Träger von bestimmten Eigenschaften, d.h. [mm] $x\in \operatorname{Bild}(f)\gdw (x\in\IC\text{ und }|x|=1)$.
[/mm]
Um [mm] $G\subset \operatorname{Bild} [/mm] (f)$ zu zeigen, musst du also [mm] $x\in G\Rightarrow x\in \operatorname{Bild}(f)$ [/mm] zeigen:
Sei [mm] $x\in [/mm] G$ beliebig, d.h. es ist [mm] $x\in\IC$ [/mm] mit $|x|=1$. Dann gibt es (Analysis 1...) ein [mm] $r\in\IR$ [/mm] mit [mm] $e^{ir}=x$, [/mm] aber nach der Eulerschen Identität ist [mm] $x=e^{ir}=\cos r+i\sin [/mm] r=f(r)$. Also ist [mm] $x\in \operatorname{Bild}(f)$.
[/mm]
> 2. Teil Bild f [mm]\subseteq[/mm] G
>
> Sei a [mm]\in[/mm] Bild f
Gut.
> => [mm]a\in\{f(x) / x \in \IR\}[/mm]
Nein, schreibe "dann ist [mm] $a=f(x)=\cos x+i\sin [/mm] x$ für ein [mm] $x\in\IR$".
[/mm]
> Anm: das beschreibt aber gerade den einheitskreis in [mm]\IC[/mm]
Aha... warum? Also dass [mm] $a\in\IC$ [/mm] ist, ist nach obiger Gleichung klar. Aber warum ist $|a|=1$? Das musst du nur ausrechnen, es ist doch [mm] $|a|=\cos^2 x+sin^2 [/mm] x$...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 24.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
> > Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IC[/mm] definiert durch f(x):=cos x + i sin x für
> > alle x [mm]\in \IR.[/mm] Weiter sei [mm]G:=\{z \in \IC / |z| = 1\}[/mm]
> Zeigen
> > sie:
> >
> > a) (G,*) ist abelsche Gruppe
> > b) Für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt f(x+y)=f(x) * f(y)
> > c)Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt f(-x) = [mm]\bruch{1}{f(x)}[/mm]
> > d) Bild f = G
> > Hallo liebe Community,
> >
> > b) und c) habe ich bereits bewiesen und bin mir auch sicher
> > das es richtig ist.
> >
> > bei d) bin ich mir weniger sicher, wäre toll wenns sich
> > jemand anschaut.
> >
> > zu a) meinte unser Prof. , dass das aus b) und d) folgt.
> > ich kann mir allerdings überhaupt nich vorstellen wie das
> > gehen soll.
> > Kann mir das evt. jemand erklären?
> Die Eigenschaft [mm]b)[/mm] bedeutet gerade, dass [mm]f[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist. Tatsächlich ist die Sache etwas
> subtiler, denn die Aussage "f ist ein
> Gruppenhomomorphismus" macht natürlich keinen Sinn, da wir
> noch nicht wissen, dass [mm]G[/mm] wirklich eine Gruppe ist. Es ist
> vielmehr so, dass sich die Gruppenstruktur der abelschen
> Gruppe [mm](\IR, +)[/mm] durch die Abbildung automatisch auf das
> Bild von [mm]f[/mm], also G, überträgt. Zum Beispiel ist das Bild
> des neutralen Elementes von [mm](\IR,+)[/mm] unter f genau das
> neutrale Element von [mm](G,*)[/mm], denn:
>
> Wegen [mm]\operatorname{Bild}(f)=G[/mm] kann ich jedes [mm]g\in G[/mm]
> schreiben als [mm]f(x)[/mm] für ein [mm]x\in\IR[/mm]. Wegen eigenschaft b)
> ist aber [mm]g=f(x)=f(x+0)=f(x)*f(1)=g*f(1)[/mm], d.h. damit ist
> bewiesen dass [mm]f(1)[/mm] tatsächlich das neutrale Element in
> [mm](G,*)[/mm] ist.
>
> Auf ähnliche Weise zeigt man auch die anderen
> Gruppenaxiome. Dies ist natürlich noch kein Beweis, aber
> ich hoffe es genügt, um dir die wesentliche Idee erstmal
> näher zu bringen.
ja denke schon, sollte ja eig. nicht soo schwer sein, die ganzen eigenschaften abzuarbeiten. hab mich halt einfach nur gewundert das er meinte aus b,d folgt a. naja egal.
> > hier erstmal mein ansatz zu d.
> >
> > wir haben Bild f definiert als:
> >
> > wenn f: X -> Y und U [mm]\subseteq[/mm] X dann gilt [mm]Bild f = f(U) := \{f(x) / x \in U\}[/mm]
>
> Soweit so gut...
>
> > meine lösung kommt nir noch ein bisschen komisch vor, da
> > ich nur mit "umformungen" von Mengen arbeite.
> > Außerdem hatten wir in der VL 2 sachen noch nicht die
> ich
> > hier benutze, allerdings in Analysis, ich kennzeichne sie
> > rot.
> Umformungen von Mengen sind doof. Betrachte die Elemente
> von Mengen als Träger von bestimmten Eigenschaften, d.h.
> [mm]x\in \operatorname{Bild}(f)\gdw (x\in\IC\text{ und }|x|=1)[/mm].
>
> Um [mm]G\subset \operatorname{Bild} (f)[/mm] zu zeigen, musst du
> also [mm]x\in G\Rightarrow x\in \operatorname{Bild}(f)[/mm] zeigen:
>
> Sei [mm]x\in G[/mm] beliebig, d.h. es ist [mm]x\in\IC[/mm] mit [mm]|x|=1[/mm]. Dann
> gibt es (Analysis 1...) ein [mm]r\in\IR[/mm] mit [mm]e^{ir}=x[/mm], aber nach
> der Eulerschen Identität ist [mm]x=e^{ir}=\cos r+i\sin r=f(r)[/mm].
> Also ist [mm]x\in \operatorname{Bild}(f)[/mm].
>
>
> > 2. Teil Bild f [mm]\subseteq[/mm] G
> >
> > Sei a [mm]\in[/mm] Bild f
> Gut.
>
> > => [mm]a\in\{f(x) / x \in \IR\}[/mm]
> Nein, schreibe "dann ist
> [mm]a=f(x)=\cos x+i\sin x[/mm] für ein [mm]x\in\IR[/mm]".
> > Anm: das beschreibt aber gerade den einheitskreis in
> [mm]\IC[/mm]
> Aha... warum? Also dass [mm]a\in\IC[/mm] ist, ist nach obiger
> Gleichung klar. Aber warum ist [mm]|a|=1[/mm]? Das musst du nur
> ausrechnen, es ist doch [mm]|a|=\cos^2 x+sin^2 x[/mm]...
[mm] |a|=\cos^2 x+sin^2 [/mm] x = 1 das ist klar. ich dachte nur ich habe ja
a=f(x)=cos x+i*sin x = 1*cos x + i*1*sin x = r*cos x + i*r sin x / wenn gilt r=1 da nun r=|a| folgt |a|=1?!
> Gruß, Robert
Gruß zurück
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Die Eigenschaft [mm]b)[/mm] bedeutet gerade, dass [mm]f[/mm] ein
> > Gruppenhomomorphismus ist. Tatsächlich ist die Sache etwas
> > subtiler, denn die Aussage "f ist ein
> > Gruppenhomomorphismus" macht natürlich keinen Sinn, da wir
> > noch nicht wissen, dass [mm]G[/mm] wirklich eine Gruppe ist. Es ist
> > vielmehr so, dass sich die Gruppenstruktur der abelschen
> > Gruppe [mm](\IR, +)[/mm] durch die Abbildung automatisch auf das
> > Bild von [mm]f[/mm], also G, überträgt. Zum Beispiel ist das Bild
> > des neutralen Elementes von [mm](\IR,+)[/mm] unter f genau das
> > neutrale Element von [mm](G,*)[/mm], denn:
> >
> > Wegen [mm]\operatorname{Bild}(f)=G[/mm] kann ich jedes [mm]g\in G[/mm]
> > schreiben als [mm]f(x)[/mm] für ein [mm]x\in\IR[/mm]. Wegen eigenschaft b)
> > ist aber [mm]g=f(x)=f(x+0)=f(x)*f(1)=g*f(1)[/mm], d.h. damit ist
> > bewiesen dass [mm]f(1)[/mm] tatsächlich das neutrale Element in
> > [mm](G,*)[/mm] ist.
> >
> > Auf ähnliche Weise zeigt man auch die anderen
> > Gruppenaxiome. Dies ist natürlich noch kein Beweis, aber
> > ich hoffe es genügt, um dir die wesentliche Idee erstmal
> > näher zu bringen.
>
> ja denke schon, sollte ja eig. nicht soo schwer sein, die
> ganzen eigenschaften abzuarbeiten. hab mich halt einfach
> nur gewundert das er meinte aus b,d folgt a. naja egal.
Naja die Sache ist, dass das in ziemlich allgemeiner Form gilt:
Ist [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] eine Gruppe und [mm] $\varphi:G\to\operatorname{Bild}(f)=:H$ [/mm] eine Abbildung, ferner [mm] $\star:H^2\to X\supset [/mm] H$ und [mm] $\varphi(g\cdot h)=\varphi(g)\star\varphi(h)$ [/mm] für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$, so ist [mm] $(H,\star)$ [/mm] eine Gruppe (insbesondere [mm] $\varphi$ [/mm] ein (surjektiver) Gruppenhomomorphismus...).
Wenn man ein bisschen in der Materie steckt ist das natürlich sonnenklar, für deinen Prof ist es wahrscheinlich deshalb auch trivial, aber als Anfänger versteht man möglicherweise nichtmal was eigentlich die Aussage von obigem Satz ist.
> Aber warum ist [mm]|a|=1[/mm]? Das musst du nur
> > ausrechnen, es ist doch [mm]|a|=\cos^2 x+sin^2 x[/mm]...
>
> [mm]|a|=\cos^2 x+sin^2[/mm] x = 1 das ist klar.
Damit bist du doch fertig... wo ist das Problem?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
hmm ich glaub das das prob meißt ist, dass mir bissl selbstvertrauen fehlt. 
danke dir für die korrektur.
mfg maxi
|
|
|
|
