Beweise zu beschränkten Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:40 Do 23.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Seien A, B [mm] \subset \IR. [/mm] A,B [mm] \not= \emptyset [/mm] und beschränkt und A+B= {x+y : x [mm] \in [/mm] A, y [mm] \in [/mm] B}, A*B= {x*y : x [mm] \in [/mm] A, [mm] y\in [/mm] B}
a) A+B beschränkt
b) sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
c) für A, B [mm] \subset \IR^+ [/mm] gilt: inf(A*B)=inf(A)*inf(B)
d) sup(A [mm] \cup [/mm] B) =max{sup(A), sup(B)}
e) Gibt es eine Analogie zu d) für sup(A [mm] \cap\ [/mm] B) Begründen Sie |
Hi,
also zu a,) b), c) und d) habe ich mehr oder weniger was:
a)
Bei der Vereinigung ist es ja so, dass in die Vereinigungsmenge nur die Elemente kommen die in A oder B oder beiden enthalten sind.
Bei der Addition enstehen ja immer neue Elemente.
Ich versteh zwar, dass die Menge A+B beschränkt ist und kann es auch begründen, aber nicht so wirklich mathematisch hinschreiben zumindest weiß ich nicht ob die Formulierung korrekt ist.
Sei A und B beschränkt, also es gibt ein Supremum und/oder Infimum für beide Mengen.
Gehen wir mal von einem Supremum aus (das Infumum ist ja analog dazu fast das selbe).
D.h. in beiden Mengen gibt es ein x [mm] \le [/mm] sup(A) bzw. y [mm] \le [/mm] sup(B).
Wenn ich jetzt beide Mengen addiere, gilt für die Summanden ja diese obigen Bedingungen
Also x+y [mm] \le [/mm] sup(A)+sup(B) (das neue Supremum müsste auch die Summe der einzelnen Supremas sein aber dazu in b) mehr)
Für das Infumum gilt das selbe.
Reicht das als Formulierung oder kann man das mathamatisch besser formulieren?
b)
z.z sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
durch die Definition des Supremums gilt ja für ein x [mm] \in [/mm] A bzw. [mm] y\in [/mm] B:
x [mm] \le sup(A):=s_A
[/mm]
y [mm] \le sup(B):=s_B
[/mm]
nun ist erstmal zu zeigen, dass [mm] s_A+s_B [/mm] eine obere Schranke von A+B ist:
A+B ist ja schon als x+y definiert und aus obigen Beziehungen folgt:
x+y [mm] \le s_A+S_B [/mm] , woraus folgt direkt folgt, dass [mm] s_A+s_B [/mm] eine obere Schranke ist
jetzt gilt es zu zeigen, dass [mm] s_A+s_B=sup(A+B) [/mm] ist, also die kl. obere Schranke
Dazu nehme ich an: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR: [/mm] c < [mm] s_A+s_B [/mm] und c=sup(A+B)
daraus folgt: x+y [mm] \le [/mm] c (*)
nun definiere ich [mm] \varepsilon:=s_A+s_B-c [/mm] und da jac < [mm] s_A+s_B [/mm] muss [mm] \varepsilon>0 [/mm] sein.
Außerdem:
(I) [mm] \exists [/mm] x> [mm] s_A -\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
(II) [mm] \exists [/mm] y> [mm] s_B -\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
addiert ergibt das:
(I)+(II): x+y > [mm] s_A+S_B- \varepsilon [/mm] und wenn man die Definition von [mm] \varepsilon [/mm] einsetzt erhält man
x+y>c
Das ist ein Widerspruch zu Annahme x+y [mm] \le [/mm] c und damit mit [mm] s_A+s_B [/mm] =sup(A+B) sein.
c)
bei der c habe ich gedacht ich mach das genauso nur komme ich bei der Definition von [mm] \varepsilon [/mm] nicht weiter. Aber mal von vorne:
z.z inf(A*B)=inf(A)*inf(B)
durch die Definition des Infimums gilt ja für ein x [mm] \in [/mm] A bzw. [mm] y\in [/mm] B:
x [mm] \ge inf(A):=i_A
[/mm]
y [mm] \ge inf(B):=i_B
[/mm]
nun wieder zeigen, dass [mm] i_A*i_B [/mm] eine untere Schranke von A*B ist:
A*B ist ja schon als x*y definiert und aus obigen Beziehungen folgt:
x*y [mm] \ge i_A*i_B, [/mm] woraus folgt direkt folgt, dass [mm] i_A*i_B [/mm] eine untere Schranke ist
nun muss man wieder zeigen, dass [mm] i_A*i_B=inf(A+B) [/mm] ist, also die größte untere Schranke
Dazu nehme ich an: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR^+: [/mm] c > [mm] i_A+i_B [/mm] und c=inf(A+B)
daraus folgt: x*y [mm] \ge [/mm] c (*)
So jetzt müsste ich mein [mm] \varepsilon [/mm] so definieren, dass wenn ich letztendlich wieder auf meine beiden Gleichungen (1) und (2) komme und ich diese dann Multipliziere ein Widerspruch zu (*) erhalte.
Daran scheiterts bei mir aber im Moment.
d) z.z. A [mm] \cupB [/mm] ist beschränkt
A und B sind ja schon als beschränkt vorgegeben, dass heißt beide Mengen haben ein Supremum
Also:
[mm] \forall x\in [/mm] A : x [mm] \le s_A [/mm]
[mm] \forall y\in [/mm] A : y [mm] \le s_B [/mm]
daraus folgt sofort (denk ich zumindest^^): [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B: max [mm] {s_A, s_B}
[/mm]
d)
Hier bin ich nocht nicht wirklich weit.
Bierher habe ich mir nur überlegt, dass die Voraussetzung, dass es überhaupt einen Schnitt der Mengen gibt, der nicht der leeren Menge entspricht folgende ist:
Für A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
x > min B oder y>min A (je nach dem welche Menge die kleinere Schanke hat)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Do 23.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Seien A, B [mm]\subset \IR.[/mm] A,B [mm]\not= \emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und A+B= {x+y :
> x [mm]\in[/mm] A, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}, A*B= {x*y : x [mm]\in[/mm] A, [mm]y\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> a) A+B beschränkt
Hallo,
fehlt hier nicht etwa die Voraussetzung, dass A und B beschränkt sind?
Gruß Abakus
> b) sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
> c) für A, B [mm]\subset \IR^+[/mm] gilt: inf(A*B)=inf(A)*inf(B)
> d) sup(A [mm]\cup[/mm] B) =max{sup(A), sup(B)}
> e) Gibt es eine Analogie zu d) für sup(A [mm]\cap\[/mm] B)
> Hi,
>
> also zu a,) b), c) und d) habe ich mehr oder weniger was:
>
> a)
> Bei der Vereinigung ist es ja so, dass in die
> Vereinigungsmenge nur die Elemente kommen die in A oder B
> oder beiden enthalten sind.
> Bei der Addition enstehen ja immer neue Elemente.
>
> Ich versteh zwar, dass die Menge A+B beschränkt ist und
> kann es auch begründen, aber nicht so wirklich
> mathematisch hinschreiben zumindest weiß ich nicht ob die
> Formulierung korrekt ist.
>
> Sei A und B beschränkt, also es gibt ein Supremum und/oder
> Infimum für beide Mengen.
> Gehen wir mal von einem Supremum aus (das Infumum ist ja
> analog dazu fast das selbe).
> D.h. in beiden Mengen gibt es ein x [mm]\le[/mm] sup(A) bzw. y [mm]\le[/mm]
> sup(B).
> Wenn ich jetzt beide Mengen addiere, gilt für die
> Summanden ja diese obigen Bedingungen
>
> Also x+y [mm]\le[/mm] sup(A)+sup(B) (das neue Supremum müsste auch
> die Summe der einzelnen Supremas sein aber dazu in b)
> mehr)
>
> Für das Infumum gilt das selbe.
>
> Reicht das als Formulierung oder kann man das mathamatisch
> besser formulieren?
>
>
> b)
> z.z sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
>
> durch die Definition des Supremums gilt ja für ein x [mm]\in[/mm] A
> bzw. [mm]y\in[/mm] B:
> x [mm]\le sup(A):=s_A[/mm]
> y [mm]\le sup(B):=s_B[/mm]
>
> nun ist erstmal zu zeigen, dass [mm]s_A+s_B[/mm] eine obere Schranke
> von A+B ist:
> A+B ist ja schon als x+y definiert und aus obigen
> Beziehungen folgt:
>
> x+y [mm]\le s_A+S_B[/mm] , woraus folgt direkt folgt, dass [mm]s_A+s_B[/mm]
> eine obere Schranke ist
>
> jetzt gilt es zu zeigen, dass [mm]s_A+s_B=sup(A+B)[/mm] ist, also
> die kl. obere Schranke
>
> Dazu nehme ich an: [mm]\exists[/mm] c [mm]\in \IR:[/mm] c < [mm]s_A+s_B[/mm] und
> c=sup(A+B)
> daraus folgt: x+y [mm]\le[/mm] c (*)
>
> nun definiere ich [mm]\varepsilon:=s_A+s_B-c[/mm] und da jac <
> [mm]s_A+s_B[/mm] muss [mm]\varepsilon>0[/mm] sein.
>
> Außerdem:
> (I) [mm]\exists[/mm] x> [mm]s_A -\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> (II) [mm]\exists[/mm]
> y> [mm]s_B -\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> addiert ergibt das:
> (I)+(II): x+y > [mm]s_A+S_B- \varepsilon[/mm] und wenn man die
> Definition von [mm]\varepsilon[/mm] einsetzt erhält man
> x+y>c
> Das ist ein Widerspruch zu Annahme x+y [mm]\le[/mm] c und damit mit
> [mm]s_A+s_B[/mm] =sup(A+B) sein.
>
> c)
> bei der c habe ich gedacht ich mach das genauso nur komme
> ich bei der Definition von [mm]\varepsilon[/mm] nicht weiter. Aber
> mal von vorne:
>
> z.z inf(A*B)=inf(A)*inf(B)
>
> durch die Definition des Infimums gilt ja für ein x [mm]\in[/mm] A
> bzw. [mm]y\in[/mm] B:
> x [mm]\ge inf(A):=i_A[/mm]
> y [mm]\ge inf(B):=i_B[/mm]
>
> nun wieder zeigen, dass [mm]i_A*i_B[/mm] eine untere Schranke von
> A*B ist:
> A*B ist ja schon als x*y definiert und aus obigen
> Beziehungen folgt:
>
> x*y [mm]\ge i_A*i_B,[/mm] woraus folgt direkt folgt, dass [mm]i_A*i_B[/mm]
> eine untere Schranke ist
>
> nun muss man wieder zeigen, dass [mm]i_A*i_B=inf(A+B)[/mm] ist, also
> die größte untere Schranke
>
> Dazu nehme ich an: [mm]\exists[/mm] c [mm]\in \IR^+:[/mm] c > [mm]i_A+i_B[/mm] und
> c=inf(A+B)
> daraus folgt: x*y [mm]\ge[/mm] c (*)
>
> So jetzt müsste ich mein [mm]\varepsilon[/mm] so definieren, dass
> wenn ich letztendlich wieder auf meine beiden Gleichungen
> (1) und (2) komme und ich diese dann Multipliziere ein
> Widerspruch zu (*) erhalte.
> Daran scheiterts bei mir aber im Moment.
>
> d) z.z. A [mm]\cupB[/mm] ist beschränkt
> A und B sind ja schon als beschränkt vorgegeben, dass
> heißt beide Mengen haben ein Supremum (und/oder ein
> Infimum)
>
> Also:
> [mm]\forall x\in[/mm] A : x [mm]\le s_A \vee[/mm] x [mm]\ge i_A[/mm]
> [mm](\forall y\in[/mm] A
> : y [mm]\le s_B \vee[/mm] y [mm]\ge i_B)[/mm]
>
> daraus folgt sofort (denk ich zumindest^^): [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm]
> A [mm]\cup[/mm] B: max [mm]{s_A, s_B}[/mm] ( [mm]\vee min{i_A, i_B}.)[/mm]
>
> Ich hab in Klammern mal das ganze auch für's Infumum
> geschrieben, dass müsste ja genauso gelten oder?
>
> d)
> Hier bin ich nocht nicht wirklich weit.
>
> Bierher habe ich mir nur überlegt, dass die Voraussetzung,
> dass es überhaupt einen Schnitt der Mengen gibt, der nicht
> der leeren Menge entspricht folgende ist:
>
> Für A [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyspace:[/mm]
> x > min B oder y>min A
> (je nach dem welche Menge die kleinere Schanke hat)
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 23.06.2011 | | Autor: | Sup |
Ja srry hatte ich vergessen ist editiert
Danke!
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:55 So 26.06.2011 | | Autor: | Sup |
Also ich häng immer noch bei der c)
Ich muss immer noch beweisen, dass inf(A)*inf(B)=inf(A*B) ist.
Ich denke die erste Annahme ist richtig, also:
[mm] \exists [/mm] c > inf(A)*inf(B) mit c=inf(A*B)
[mm] \Rightarrwo \forall [/mm] x*y [mm] \in [/mm] A*B : x*y [mm] \ge [/mm] c (*)
Jetzt definiere ich [mm] \varepsilon:=inf(A)*inf(B)+c [/mm] also ist [mm] \varepsilon [/mm] >0 (A,B sind ja [mm] \subset \IR^+)
[/mm]
Nach Definition von A*B und der des Infumums gibt es also:
(I) x < [mm] inf(A)+\wurzel{\varepsilon}
[/mm]
(II) y < [mm] inf(B)+\wurzel{\varepsilon}
[/mm]
So jetzt wieder das Problem: wenn ich (I)*(II) mache habe ich:
x*y [mm] <(inf(A)+\wurzel{\varepsilon})*(inf(B)+\wurzel{\varepsilon})
[/mm]
Und ab da geht das ganze nichtmehr so schön auf wie noch in der b). Auch wenn ich das [mm] \varepsilon [/mm] wieder einsetze passt das nicht.
bei e) bin ich auch noch nicht wirklich weiter.
Ich habe in der Aufgabe vergessen zu erwähnen, dass eine Begründung reicht. Muss also kein Beweis sein (werde ich oben auch editieren)
Ich habe mir aufgrund von ein paar Zeichnungen überlegt, dass gelten muss [mm] sup(A\capB)=min{sup (A), sup(B)}
[/mm]
Es gibt ja (betrachtet man den Zahlenstrahl) nur 3 vers. Möglichgketen (abgesehen der leeren Menge) wie sich die Mengen schneiden. Ich hoffe ich kann es jetzt halbwegs gescheit in Worte fassen:
(1) A ist weiter "links" auf dem Zahlenstrahl (also besitzt kleinere Elemente) und schneidet sich mit B. Der Schnitt enthält dann das größte Element von A (und das kleinste von B)
(2) B ist weiter "links" auf dem Zahlenstrahl (also besitzt kleinere Elemente) und schneidet sich mit A. Der Schnitt enthält dann das größte Element von B (und das kleinste von A)
(3) A liegt komplett in B (oder B ind A). Dann ist der Schnitt die komplette Menge A (oder B).
Aus diesen 3 Fällen, folgt, dass das min (supA, supB)=sup (A [mm] \cap [/mm] B) ist.
Kann man das so garen begründen?
Wäre nett, wenn sich jemand vor allem die b) und c) anschauen könnte.
Danke,
sup
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 28.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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