Beweise x-/h-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 09.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo,
ich bin grad dabei das Beweisen zu üben, hab aber schon wieder einige Fragen *schäm*
Beweisen mit der h-Methode:
f(x)= x
f'(x+h)= [mm] \bruch{x+h-x}{x+h-x}= \bruch{h}{h} [/mm] = 1
soweit klar
f(x)= 1
f'(x+h)= [mm] \bruch{1+h-1}{1+h-1}= \bruch{h}{h} [/mm] = 1
--> und das stimmt ja nicht. Aber wo ist der Fehler? Ist ja eigentlich keine schwierige Ableitung...
f(x)= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
f'(x+h)= [mm] \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{x+h-x} [/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}
[/mm]
leider komm ich hier nicht weiter! Wie muss ich denn da vorgehen? Quadrieren und dann binomische Formel?
f(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x+h)= [mm] \bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{x+h-x}{(x+h)*x*h}= \bruch{h}{x^2*h+x*h^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{x^2+h}
[/mm]
geht also für h->0 gegen [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Allerdings sollte das tatsächliche Ergebnis ja negativ sein, dh irgendwo müsste, ich vermute mein Zähler,negativ werden. Aber ich weiss ehrlich gesagt nicht wo...
mit der x-Methode
f(x)= [mm] x*\wurzel{x}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{x*x^(\bruch{1}{2})- x_{0}*x_{0}^(\bruch{1}{2})}{x - x_{0}}
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht so genau wie ich vorgehen soll. Das Beste wäre ja wenn ich im Zähler so ausklammern würde, dass ich [mm] (x^{\bruch{1}{2}}-x_{0}^{\bruch{1}{2}}) [/mm] hätte - dann wüsste ich wie ich weitermachen müsste. Aber ich weiss nicht wie ich hier jetzt am besten zusammenfasse, ausklammer o.ä.
Bin wie schon so oft für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Do 09.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> ich bin grad dabei das Beweisen zu üben, hab aber schon
> wieder einige Fragen *schäm*
>
> Beweisen mit der h-Methode:
>
> f(x)= x
>
> f'(x+h)= [mm]\bruch{x+h-x}{x+h-x}= \bruch{h}{h}[/mm] = 1
>
> soweit klar
leider hier schon nicht! [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
so wie dus geschrieben hast ists falsch. statt direkt h kann man natürlich immer x+h-x schreiben, aber das machts nur unübersichtlich. ohne lim ist das was du hinschreibst nicht richtig.
>
> f(x)= 1
darau folgt f(1)=f(2)=f(x)=f(x+h)=1! also [mm] f(x+h)\ne [/mm] 1+h!
> f'(x+h)= [mm]\bruch{1+h-1}{1+h-1}= \bruch{h}{h}[/mm] = 1
> --> und das stimmt ja nicht. Aber wo ist der Fehler? Ist ja
> eigentlich keine schwierige Ableitung...
>
> f(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> f'(x+h)= [mm]\bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{x+h-x}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}[/mm]
>
> leider komm ich hier nicht weiter! Wie muss ich denn da
> vorgehen? Quadrieren und dann binomische Formel?
hier erweitert man mit [mm] (\wurzel{x+h}+\wurzel{x}) [/mm] im Zähler 3. bin Formel verwenden!
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f'(x+h)= [mm]\bruch{\bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}}{h}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x+h-x}{(x+h)*x*h}= \bruch{h}{x^2*h+x*h^2}[/mm]
hier ist dein Fehler!
[mm] \bruch{1}{x+h}-\bruch{1}{x}=\bruch{x-(x+h)}{x*(x+h)}
[/mm]
dann wird dein Vorzeichen richtig.
> [mm]=\bruch{1}{x^2+h}[/mm]
>
> geht also für h->0 gegen [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Allerdings sollte das tatsächliche Ergebnis ja negativ
> sein, dh irgendwo müsste, ich vermute mein Zähler,negativ
> werden. Aber ich weiss ehrlich gesagt nicht wo...
>
> mit der x-Methode
>
> f(x)= [mm]x*\wurzel{x}[/mm]
>
>
> f'(x)= [mm]\bruch{x*x^(\bruch{1}{2})- x_{0}*x_{0}^(\bruch{1}{2})}{x - x_{0}}[/mm]
>
> Jetzt weiss ich nicht so genau wie ich vorgehen soll. Das
> Beste wäre ja wenn ich im Zähler so ausklammern würde, dass
> ich [mm](x^{\bruch{1}{2}}-x_{0}^{\bruch{1}{2}})[/mm] hätte - dann
> wüsste ich wie ich weitermachen müsste. Aber ich weiss
> nicht wie ich hier jetzt am besten zusammenfasse,
> ausklammer o.ä.
>
hier wäre besser du würdest erst allgemein die Produktregel herleiten und das dann mit der Produktregel machen. [mm] f(x)=x*\wurzel{x} [/mm] oder mit der Kettenregel [mm] f(x)=(/wurzel{x})^3
[/mm]
Das direkte Herleiten brauch hier zuviele Tricks.
Alle komplizierteren fkt. benutzt man eine der 2 Regeln.
Noch ein Hinweis, die sog. h- Methode und die [mm] x-x_0 [/mm] methode sind eigentlich genau dasselbe mit [mm] x-x_0=h
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 09.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Beweisen mit der h-Methode:
>
> f(x)= x
>
> f'(x+h)= $ [mm] \bruch{x+h-x}{x+h-x}= \bruch{h}{h} [/mm] $ = 1
>
> soweit klar
leider hier schon nicht! $ [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] $
so wie dus geschrieben hast ists falsch. statt direkt h kann man natürlich
immer x+h-x schreiben, aber das machts nur unübersichtlich. ohne lim ist das was du hinschreibst nicht richtig.
Meinst du jetzt "nur" die Schreibweise oder das ganze Vorgehen? Das meine Schreibweise mathematisch nicht okay ist, ist mir bewusst, es ist mir manchmal einfach zu aufwendig beim abtippen. auf meinem Block hab ich es natürlich anders stehen :D
darau folgt f(1)=f(2)=f(x)=f(x+h)=1! also $ [mm] f(x+h)\ne [/mm] $ 1+h!
> f'(x+h)= $ [mm] \bruch{1+h-1}{1+h-1}= \bruch{h}{h} [/mm] $ = 1
> --> und das stimmt ja nicht. Aber wo ist der Fehler? Ist ja
> eigentlich keine schwierige Ableitung...
das hab ich jetzt verstanden! Danke schön!
f(x)= $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
>
> f'(x+h)= $ [mm] \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{x+h-x} [/mm] $
>
> $ [mm] =\bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h} [/mm] $
>
> leider komm ich hier nicht weiter! Wie muss ich denn da
> vorgehen? Quadrieren und dann binomische Formel?
hier erweitert man mit $ [mm] (\wurzel{x+h}+\wurzel{x}) [/mm] $ im Zähler 3. bin Formel verwenden!
okay, danke schön, das werde ich gleich mal ausprobieren! Ich hoff ich bekomm es hin!
Jetzt weiss ich nicht so genau wie ich vorgehen soll. Das
> Beste wäre ja wenn ich im Zähler so ausklammern würde, dass
> ich $ [mm] (x^{\bruch{1}{2}}-x_{0}^{\bruch{1}{2}}) [/mm] $ hätte - dann
> wüsste ich wie ich weitermachen müsste. Aber ich weiss
> nicht wie ich hier jetzt am besten zusammenfasse,
> ausklammer o.ä.
>
hier wäre besser du würdest erst allgemein die Produktregel herleiten und das dann mit der Produktregel machen. $ [mm] f(x)=x\cdot{}\wurzel{x} [/mm] $ oder mit der Kettenregel $ [mm] f(x)=(/wurzel{x})^3 [/mm] $
Das direkte Herleiten brauch hier zuviele Tricks.
Ich würd gerne trotzdem nachvollziehen können wie ich so etwas direkt herleite :)
Danke für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Kati
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Hallo Kati,
ich finde, es ist nicht leicht zu erkennen, ob deine Vorgehensweise richtig ist, weil's so schrecklich  aufgeschrieben ist.
Du musst dir klarmachen, dass du [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm] bestimmen musst.
Wenn dieser Grenzwert existiert, so ist er f'(x)
Und das geht bei den ganzen Wurzelaufgaben mit dem "3.binom. Formel-Trick"
Ich zeig's mal für die letzte:
Also [mm] f(x)=x\cdot{}\sqrt{x}
[/mm]
zu bestimmen ist nun [mm] \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}-x\cdot{}\sqrt{x}}{h}
[/mm]
Das nun mit [mm] (x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}\red{+}x\cdot{}\sqrt{x} [/mm] erweitern:
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{(x+h)^2\cdot{}(x+h)-x^2\cdot{}x}{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}+x\cdot{}\sqrt{x}} [/mm] [3.binom.Formel im Zähler!!]
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{(x+h)^3-x^3}{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}+x\cdot{}\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}+x\cdot{}\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}+x\cdot{}\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{3x^2+3xh+h^2}{(x+h)\cdot{}\sqrt{x+h}+x\cdot{}\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] =\frac{3x^2+0+0}{(x+0)\sqrt{x+0}+x\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\frac{x^2}{x\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}=f'(x)
[/mm]
Das ist natürlich viel Schreibkram - einfacher und vor allem schneller geht's mit leduarts Tipp...
Für solche Funktionen ist die Produktregel da
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 09.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke dir schachuzipus!
Das muss ich mir jetzt aber erstmal ausdrucken, damit ich deine Rechnung in Ruhe nachvollziehen kann!!!
Ich weiss ja auch, dass es dafür die Produktregel gibt, aber an der Stelle, an der ich grad im Buch bin, ist sie noch nicht bekannt und ich muss sie eben auf diese Weise lösen.
Außerdem will ich ja lernen wie man sowas macht. Und je mehr Übung man hat...
Vielen lieben dank nochmal und auch nochmal sorry wegen meiner grauenhaften Schreibweise ;)
Liebe Grüße,
Kati
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