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Beweise mit Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 14.03.2007
Autor: miniscout

Aufgabe
Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Kanten gleich lang sind.
Beiweisen Sie, dass zwei gegenüberliegende Kanten (rot) beim Tetraeder orthogonal sind.

Hallo!

Gegeben ist also:

$ | [mm] \vec{a} [/mm] | = | [mm] \vec{b} [/mm] | = | [mm] \vec{c} [/mm] |$

Und zu beweisen ist:

[mm] $\vec{c} [/mm] * [mm] (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] = 0$


Nur weiß ich nicht so recht, wie ich das machen soll. Kann mir jemand von euch helfen? Vermutlich gibt es noch mehr Voraussetzungen, auf die ich nicht komme.

Auf jeden Fall vielen Dank.

Ciao miniscout [read]





        
Bezug
Beweise mit Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mi 14.03.2007
Autor: Zwerglein

Hi, Miniscout,

(1) Laut Definition des Skalarprodukts ist:

[mm] \vec{a}\circ \vec{b} [/mm] = [mm] a*b*cos(\phi), [/mm]

wobei [mm] \phi [/mm] der Winkel zwischen beiden Vektoren ist.

(2) Sind in Deinem Tetraeder die Vektoren alle gleich lang, dann schließen sie auch denselben Winkel ein (gleichseitige Dreiecke!).

(3) Nun zu Deinem Ansatz:

[mm] \vec{a} \circ (\vec{b}-\vec{c}) [/mm]

= [mm] \vec{a} \circ \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} \circ \vec{c} [/mm]

= ...

Der Rest ist klar!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Beweise mit Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 14.03.2007
Autor: miniscout

Danke!

Ist folgender Beweiß also richtig?

geg.:
(1) [mm] $\vec{a}\circ \vec{b} [/mm] = [mm] a*b*cos(\phi)$ [/mm]
(2) a = b = c


[mm] $\vec{c} \circ (\vec{b}-\vec{a})$ [/mm]

$= [mm] \vec{c} \circ \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} \circ \vec{c}$ [/mm]

$= [mm] b*c*cos(\phi) [/mm] - [mm] a*c*cos(\phi)$ [/mm]

$= [mm] c*cos(\phi)*(b-a)$ [/mm]

$= 0$


Gruß miniscout [read]


Bezug
                        
Bezug
Beweise mit Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mi 14.03.2007
Autor: Zwerglein

Hi, miniscout,

> Ist folgender Beweiß also richtig?
>  
> geg.:
> (1) [mm]\vec{a}\circ \vec{b} = a*b*cos(\phi)[/mm]
>  (2) a = b = c
>  
>
> [mm]\vec{c} \circ (\vec{b}-\vec{a})[/mm]
>  
> [mm]= \vec{c} \circ \vec{b} - \vec{a} \circ \vec{c}[/mm]
>  
> [mm]= b*c*cos(\phi) - a*c*cos(\phi)[/mm]
>  
> [mm]= c*cos(\phi)*(b-a)[/mm]
>  
> [mm]= 0[/mm]

Bis auf die Tatsache, dass man Beweis nicht mit "ß" schreibt,
alles [ok]

mfG!
Zwerglein

Bezug
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