Beweise mit Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweisen Sie:
-Jede Fermatsche Zahl [mm]F_n[/mm]=[mm]2^2^n[/mm]+1 mit [mm]x\in\IN[/mm] kann als Summer zweier Quadrate ausgedrückt werden. Müssen die Quadrate selbst wieder Fermatsche Zahlen sein? |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie:
-Ist die Zahl [mm]x\in\IN[/mm] nicht als Summer zweier Quadrate darstellbar, so kann sie auch nicht als Summer von zwei Quadraten rationaler Zahlen dargestellt werden. |
| Aufgabe 3 | Beweisen Sie:
-Ist eine Primzahl die Summer von drei Quadraten verschiedener Primzahlen, so muss eine dieser Primzahlen gleich 3 sein. |
| Aufgabe 4 | Beweisen Sie:
-Ist n=[mm]4^m[/mm]*(8k+7) mit k und [mm]m\in\IN_0[/mm], dann ist n nicht als Summe von 3 Quadraten darstellbar. |
| Aufgabe 5 | Beweisen Sie:
-Ist n[mm]\equiv[/mm]0 mod 8 mit n=[mm]\sum_{k=1}^{4} x_k^2[/mm], so gibt es [mm]y_1,y_2,y_3,y_4\in\IZ[/mm] mit [mm]\left( \bruch{n}{4} \right)[/mm]=[mm]\sum_{k=1}^{4} y_k^2 [/mm] |
also zu den meisten muss ich gestehen, hab ich überhaupt nocht nicht mal einen ansatz.
aber zu nummer 2 und 3 würde ich sagen, kann man mit einem widerspruchsbeweis und somit einfach mit einem beispiel widerlegen?!
danke schonmal für eure hilfe! ich bin im moment leider echt verzweifelt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Fr 10.12.2010 | | Autor: | wwfsdfsdf2 |
Nur mal zum Grundlegenden:
Ein Widerspruchsbeweis hat nichts mit Gegenbeispiel zu tun!
Ein Gegenbeispiel widerlegt eine Aussage (Alle Voraussetzungen sind erfüllt, aber die Aussage trifft nicht zu).
Ein Widerspruchsbeweis hingegen belegt eine Aussage, indem er beweist, dass die gegenteilige Aussage falsch sein muss. zB:
Zeige sqrt(2) ist keine rationale Zahl - du nimmst an, dass sie eine rationale Zahl ist und stößt in deinem Beweis auf einen Widerspruch, womit nicht gilt, dass sqrt(2) eine rationale Zahl ist und womit du gezeigt hast, dass es keine rationale Zahl ist
mfg
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[mm] 2^{2n} [/mm] + 1 = [mm] (2^{n})^{2} [/mm] + [mm] 1^{2}
[/mm]
[mm] (2^{n})^{2} [/mm] ist offensichtlich eine gerade Zahl, also keine Fermatzahl - Also müssen die Quadrate keine Fermat-Zahlen sein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]2^{2n}[/mm] + 1 = [mm](2^{n})^{2}[/mm] + [mm]1^{2}[/mm]
Die Zahl aus der Aufgabenstellung ist allerdings [mm] $2^{2^n} [/mm] + 1$ und nicht [mm] $2^{2 n} [/mm] + 1$. Das geht dann aber genauso 
LG Felix
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woher weißt du, dass ich mich verschrieben hatte? *gg*
also erstmal danke für deine lösung.
hab eben noch was aus unserem tut gefunden. ginge auch diese lösung:
1.Fall: n=2k, k [mm]\in\IN_0[/mm]
=> [mm]2^{2^k+1}[/mm]= [mm](2^2)^{2k}[/mm]+1 = [mm](4^k)^2[/mm]+[mm]1^2[/mm]
2.Fall: n=2k+1, k [mm]\in\IN_0[/mm]
=> [mm]2^{2^k+1}[/mm]=[mm]2^{2^2k}[/mm]*2= [mm]4^{2k}[/mm]*2= [mm](4^{k)^2}[/mm]+[mm](2^{k)^2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> woher weißt du, dass ich mich verschrieben hatte? *gg*
du hast das Stichwort "Fermatzahl" selber genannt.
> also erstmal danke für deine lösung.
> hab eben noch was aus unserem tut gefunden. ginge auch
> diese lösung:
> 1.Fall: n=2k, k [mm]\in\IN_0[/mm]
> => [mm]2^{2^k+1}[/mm]= [mm](2^2)^{2k}[/mm]+1 = [mm](4^k)^2[/mm]+[mm]1^2[/mm]
>
> 2.Fall: n=2k+1, k [mm]\in\IN_0[/mm]
> => [mm]2^{2^k+1}[/mm]=[mm]2^{2^2k}[/mm]*2= [mm]4^{2k}[/mm]*2= [mm](4^{k)^2}[/mm]+[mm](2^{k)^2}[/mm]
Die Formeln sind etwas kaputt, es ist nicht immer wirklich klar was im Exponenten steht (stehen soll) und was nicht.
Pass genau auf wo geschweifte Klammern stehen und wo nicht.
Wenn du es repariert hast, schau ich es mir gern nochmal an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 So 12.12.2010 | | Autor: | Sunny1508 |
1.Fall: n=2k, k [mm]\in IN_0[/mm]
=> [mm]2^{2^k}[/mm]+1 = ([mm]2^2){^2k}[/mm] +
2.Fall: n=2k+1, k
=> =*2= *2= +
> > 1.Fall: n=2k, k [mm]\in\IN_0[/mm]
> > => [mm]{2^2^2^k+1}[/mm]= [mm](2^2)^{2k}[/mm]+1 = [mm]{(4^k)^2}[/mm]+[mm]1^2[/mm]
> >
> > 2.Fall: n=2k+1, k [mm]\in\IN_0[/mm]
> > => [mm]2^{2^k+1}[/mm]=[mm]2^{2^2k}[/mm]*2= [mm]4^{2k}[/mm]*2= [mm](4^{k)^2}[/mm]+[mm](2^{k)^2}[/mm]
>
> Die Formeln sind etwas kaputt, es ist nicht immer wirklich
> klar was im Exponenten steht (stehen soll) und was nicht.
>
> Pass genau auf wo geschweifte Klammern stehen und wo
> nicht.
>
> Wenn du es repariert hast, schau ich es mir gern nochmal
> an.
>
> LG Felix
>
ich hab alles ausprobiert, aber iwie krieg ich das mit den klammern nicht hin :(
aber danke für deine hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mo 13.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Fr 10.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie:
> -Ist eine Primzahl die Summer von drei Quadraten
> verschiedener Primzahlen, so muss eine dieser Primzahlen
> gleich 3 sein.
Schau dir das mal modulo 3 an. Was kannst du ueber die drei Primzahlen aussagen?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Fr 10.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie:
> -Ist die Zahl [mm]x\in\IN[/mm] nicht als Summer zweier Quadrate
> darstellbar, so kann sie auch nicht als Summer von zwei
> Quadraten rationaler Zahlen dargestellt werden.
Du musst zeigen: ist eine Zahl als Summe zweier Quadrate rationaler Zahlen darstellbar, so auch als Summe zweier ganzzahliger Quadrate.
Erstmal ein Beispiel: $1 = [mm] (3/5)^2 [/mm] + [mm] (4/5)^2$. [/mm] Und $1= [mm] 0^2 [/mm] + [mm] 1^2$.
[/mm]
Nimm an, dass du eine Darstellung $x = [mm] (a/b)^2 [/mm] + [mm] (c/d)^2$ [/mm] hast mit $a, b, c, d [mm] \in \IN$. [/mm] Wenn du annimmst, dass $a, b$ und $c, d$ teilerfremd sind, kannst du daraus folgern, dass $b = d$ ist. Du hast also $x [mm] b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] c^2$.
[/mm]
Was weisst du jetzt darueber, wann eine natuerliche Zahl als Summe zweier Quadrate dargestellt werden kann?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie:
> -Ist n=[mm]4^m[/mm]*(8k+7) mit k und [mm]m\in\IN_0[/mm], dann ist n nicht
> als Summe von 3 Quadraten darstellbar.
Angenommen, $n = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2$.
[/mm]
Schau dir erstmal den Fall $m = 0$ modulo 8 an. Dann ist $7 [mm] \equiv a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2 \pmod{8}$.
[/mm]
Welche Werte koennen [mm] $a^2 \pmod{8}$ [/mm] annahmen? Es geht doch nur 0, 1 oder 4. Geht das also?
Jetzt sei $m > 0$. Wenn du dir das ganze modulo 4 anschaust, siehst du, dass $a, b, c$ gerade sein muessen. Damit ist bei [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2$ [/mm] somit jeder Summand durch 4 teilbar.
Fuehre das ganze auf so eine Darstellung mit einem um 1 kleineren $m$ zurueck.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Fr 10.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie:
> -Ist n[mm]\equiv[/mm]0 mod 8 mit n=[mm]\sum_{k=1}^{4} x_k^2[/mm], so gibt es
> [mm]y_1,y_2,y_3,y_4\in\IZ[/mm] mit [mm]\left( \bruch{n}{4} \right)[/mm]=[mm]\sum_{k=1}^{4} y_k^2[/mm]
Mit [mm] $(\frac{n}{4})$ [/mm] meinst du sicher nicht das ![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Symbol, oder? Dann waer das ganze trivial, da 1 sich immer als Summe von vier Quadraten darstellen laesst.
Also nehme ich mal an, du meinst einfach den Bruch $n/4$.
Wie bei Aufgabe 4: schau es dir Modulo 8 an und zeige, dass alle [mm] $x_k$ [/mm] gerade sind.
LG Felix
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