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| Aufgabe | 2. Aufgabe (4P) Sei f : A → B ein Funktion. Beweisen Sie: f ist bijektiv ⇔ Es existiert g:B → A mit g ◦ f [mm] =id_A [/mm] und f ◦ g [mm] =id_B.
[/mm]
3. Aufgabe (4P) Seien f : A → B und g : B → A Funktionen. Beweisen Sie:
(a) f, g injektiv ⇒ g ◦ f injektiv. (b) f, g surjektiv ⇒ g ◦ f surjektiv.
(c) g ◦ f injektiv⇒ f injektiv. (d) g ◦ f surjektiv⇒ g surjektiv. |
Wäre dankbar für Korrektur und Tipps (bes. Aufgabe 2)
Ich beginne mit Aufgabe 3:
(a)
[mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) [/mm]
da g injektiv => [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
da f injektiv => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
=> g ◦ f ist injektiv
Ist das so korrekt?
(b)
i) da f surjektiv: [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(a) = b
ii) da g surjektiv: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : g(b) = a
aus i und ii folgt: [mm] \forall [/mm] g(f(a)) [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] f(a) [mm] \in [/mm] B : g(f(a)) = a
=> g ◦ f ist surjektiv
Reicht das als Beweis? Ist es überhaupt ein Beweis?
(c) g ◦ f ist injektiv => f ist injektiv
[mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) [/mm] da g ◦ f injektiv => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
daher [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
(d) g ◦ f surjektiv => g surjektiv
zu zeigen ist: g surjektiv, d.h. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : g(b) = a
Hier komme ich nicht wirklich weiter. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?
Zu Aufgabe 2.)
Hier bin ich mir auch sehr unsicher.
Also aus der Bijektivität von f folgt, dass f surjektiv und injektiv ist.
Also:
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(a) = b (Surjektivität) und
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] ) => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] (Injektivität)
(*) [mm] id_A [/mm] gibt ihr Argument zurück, d.h. [mm] id_A(a) [/mm] = a und [mm] id_B(b) [/mm] = b
g ◦ f = [mm] id_A [/mm] => (*) => g ◦ f (a) = a => g(f(a)) = a
f ◦ g = [mm] id_B [/mm] => (*) => f ◦ g (b) = b => f(g(b)) = b
Weiter komme ich nicht. Kann mir hier jemand helfen?
Ich danke euch vielmals für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 2. Aufgabe (4P) Sei f : A → B ein Funktion. Beweisen Sie:
> f ist bijektiv ⇔ Es existiert g:B → A mit g ◦ f [mm]=id_A[/mm]
> und f ◦ g [mm]=id_B.[/mm]
>
> 3. Aufgabe (4P) Seien f : A → B und g : B → A
> Funktionen. Beweisen Sie:
> (a) f, g injektiv ⇒ g ◦ f injektiv. (b) f, g surjektiv
> ⇒ g ◦ f surjektiv.
> (c) g ◦ f injektiv⇒ f injektiv. (d) g ◦ f
> surjektiv⇒ g surjektiv.
> Wäre dankbar für Korrektur und Tipps (bes. Aufgabe 2)
>
> Ich beginne mit Aufgabe 3:
>
> (a)
> [mm]g(f(x_1))[/mm] = [mm]g(f(x_2))[/mm]
> da g injektiv => [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
> da f injektiv => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> => g ◦ f ist injektiv
>
> Ist das so korrekt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das ist richtig so.
>
> (b)
> i) da f surjektiv: [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : f(a) =
> b
> ii) da g surjektiv: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : g(b)
> = a
>
> aus i und ii folgt: [mm]\forall[/mm] g(f(a)) [mm]\in[/mm] A
> [mm]\exists[/mm] f(a) [mm]\in[/mm] B : g(f(a)) = a
Du sagst hier in etwasowas: wenn g(f(a)) in A liegt (wo denn sonst?), dann wird a von der Funktion [mm] g\circ [/mm] f auf a abgebidlet.
> Reicht das als Beweis? Ist es überhaupt ein Beweis?
Nein, es ist keiner.
Du willst ja zeigen, daß [mm] g\circ f:A\to [/mm] A surjektiv ist, daß Du also zu jedem [mm] a\in [/mm] A ein a' in A findest mit [mm] (g\circ [/mm] f)(a')=a.
Beweis:
Sei [mm] a\in [/mm] A.
Da g surjektiv, gibt es ein [mm] b\in [/mm] B mit g(b)=a.
Nun begründest Du, warum Du ein [mm] a'\in [/mm] A findest, welches durch f auf b abgebildet wird.
>
> (c) g ◦ f ist injektiv => f ist injektiv
> [mm]g(f(x_1))[/mm] = [mm]g(f(x_2))[/mm] da g ◦ f injektiv => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> daher [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
Der logische Ablauf stimmt hier nicht.
Starte für den Beweis mit
Es sei [mm] f(x_1)=f(x_2).
[/mm]
Hieraus mußt Du folgern. (Geh mit g drauf. Was folgt?)
>
> (d) g ◦ f surjektiv => g surjektiv
>
> zu zeigen ist: g surjektiv, d.h. [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] b
> [mm]\in[/mm] B : g(b) = a
>
> Hier komme ich nicht wirklich weiter. Vielleicht kann mir
> jemand einen Tipp geben?
Es ist ja g ◦ f surjektiv . Das heißt: zu jedem [mm] a\in [/mm] A findet man ein [mm] a'\in [/mm] A mit (g ◦ f )(a')=a.
Und welches Element aus B wird nun ganz sicher von g auf a abgebildet?
>
>
>
> Zu Aufgabe 2.)
> Hier bin ich mir auch sehr unsicher.
Erstmal generell: es sind hier zwei Richtungen zu beweisen,
Tu das getrennt, denn erstens gehen beide Richtungen verschieden, zweitens vermischt man Voraussetzung un das zu Zeigende nicht so leicht.
"<==" Dies bekommst Du schnell mit Aufgabe 3, denn die Identität ist ja bijektiv.
"==>" Hier ist vorausgesetzt, daß f bijektiv ist. Du sollst die Existenz einer Funktion g mit bestimmten Eigenschaften nachweisen.
Das bedeutet: erstmal mußt Du Dir eine passende Funktion g definieren, und dann vorrechnen, daß genau diese Funktion tut, was gefordert ist.
Gruß v. Angela
>
> Also aus der Bijektivität von f folgt, dass f surjektiv
> und injektiv ist.
> Also:
> [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : f(a) = b (Surjektivität)
> und
> [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] ) => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] (Injektivität)
>
> (*) [mm]id_A[/mm] gibt ihr Argument zurück, d.h. [mm]id_A(a)[/mm] = a und
> [mm]id_B(b)[/mm] = b
>
> g ◦ f = [mm]id_A[/mm] => (*) => g ◦ f (a) = a => g(f(a)) = a
> f ◦ g = [mm]id_B[/mm] => (*) => f ◦ g (b) = b => f(g(b)) = b
>
> Weiter komme ich nicht. Kann mir hier jemand helfen?
>
> Ich danke euch vielmals für eure Hilfe.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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EDIT: Aufgabe 2 bearbeitet
Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Habe jetzt mal die Aufgabe 3 mit deinen Hinweisen überarbeitet.
(b) f, g surjektiv => g [mm] \circ [/mm] f ist surjektiv
g ist surjektiv [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : g(b) = a
f surjektiv => [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in [/mm] A : f(a') = b
=> [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in [/mm] A : g(f(a')) = a
=> g [mm] \circ [/mm] f ist surjektiv
(c) g [mm] \circ [/mm] f injektiv => f ist injektiv
Sei [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
=> [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2))
[/mm]
=> g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_1) [/mm] = g [mm] \circ f(x_2) [/mm]
da g [mm] \circ [/mm] f injektiv folgt: [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
=> f ist injektiv
(d) g [mm] \circ [/mm] f ist surjektiv => g surjektiv
g [mm] \circ [/mm] f surjektiv [mm] \gdw \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in [/mm] A : g(f(a')) = a
=> [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : g(b) = a
=> g ist surjektiv
Habe jetzt zumindest das Gefühl, endlich verstanden zu haben, wobei es geht. Das ist ein großer Fortschritt. Hoffe natürlich, dass jetzt auch die Aufgaben soweit richtig sind.
Aufgabe 2.)
Also dann beweise ich erst "von rechts"
Angenommen g: B [mm] \to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B
[/mm]
da [mm] id_A [/mm] und [mm] id_B [/mm] bijektiv => g [mm] \circ [/mm] f und f [mm] \circ [/mm] g bijektiv
=> g [mm] \circ [/mm] f injektiv => f injektiv
da g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_1) [/mm] = g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_2)
[/mm]
=> [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2) [/mm] => da g [mm] \circ [/mm] f injektiv => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] => [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
=> f [mm] \circ [/mm] g surjektiv => f surjektiv
f [mm] \circ [/mm] g surjektiv [mm] \gdw \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] b' [mm] \in [/mm] B : g(f(b')) = b
=> [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(a) = b
=> f ist surjektiv
=> f ist bijektiv
"von links" ist mein Ausgangspunkt, dass f bijektiv ist, also:
f ist injektiv => [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
=> [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2))
[/mm]
=> g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_1) [/mm] = g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_2)
[/mm]
da f injektiv => [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] => g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv
f ist surjektiv:
Hier ist mir noch nicht klar, wohin der Beweis gehen soll...
Nochmals Danke und liebe Grüße,
Thomas
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> EDIT: Aufgabe 2 bearbeitet
>
> Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe.
>
> Habe jetzt mal die Aufgabe 3 mit deinen Hinweisen
> überarbeitet.
Hallo,
ja, die ist jetzt im prinzip richtig gelöst.
ich würde es an einigen stellen etwas anders hinschreiben, ich zeig Dir, wie:
>
Zu zeigen:
> (b) f, g surjektiv => g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv
>
Bew.:
Nach Voraussetzung gilt:
> g ist surjektiv [mm]\gdw \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : g(b)
> = a
>
> f surjektiv => [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in[/mm] A : f(a') =
> b
>
Sein nun [mm] a\in [/mm] A.
Nach Vor. gibt es ein [mm] b\in [/mm] A mit g(b)=a.
Ebenfalls nach Voraussetzung gibt es ein [mm] a'\in [/mm] A mit f(a')=b.
Also ist [mm] (g\cirg [/mm] f)(a')=g(f(a'))=g(b)=a,
somit ist [mm] (g\cirg [/mm] f)(a') surjektiv.
> => [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in[/mm] A : g(f(a')) = a
Das Problem hierbei ist, daß man nicht direkt sieht, wie man das a' findet.
>
> => g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv
>
>
> (c) g [mm]\circ[/mm] f injektiv => f ist injektiv
>
> Sei [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
> => [mm]g(f(x_1))[/mm] = [mm]g(f(x_2))[/mm]
> => g [mm]\circ[/mm] f [mm](x_1)[/mm] = g [mm]\circ f(x_2)[/mm]
> da g [mm]\circ[/mm] f injektiv folgt: [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> => f ist injektiv
Richtig.
>
> (d) g [mm]\circ[/mm] f ist surjektiv => g surjektiv
Hier wieder genauso:
>
Nach Voraussetzung ist
> g [mm]\circ[/mm] f surjektiv [mm]\gdw \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in[/mm] A : g(f(a')) = a
Sei nun [mm] a\in [/mm] A.
Nach Voraussetzung findet man ein a' [mm] \in [/mm] A, so daß mit b:=f(a') gilt: g(b)=g(f(a'))=a.
> => [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : g(b) = a
> => g ist surjektiv
>
>
> Habe jetzt zumindest das Gefühl, endlich verstanden zu
> haben, wobei es geht. Das ist ein großer Fortschritt.
> Hoffe natürlich, dass jetzt auch die Aufgaben soweit
> richtig sind.
>
> Aufgabe 2.)
> Also dann beweise ich erst "von rechts"
>
> Angenommen g: B [mm]\to[/mm] A mit g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_A[/mm] und f [mm]\circ[/mm] g =
> [mm]id_B[/mm]
>
> da [mm]id_A[/mm] und [mm]id_B[/mm] bijektiv => g [mm]\circ[/mm] f und f [mm]\circ[/mm] g
> bijektiv
>
> => g [mm]\circ[/mm] f injektiv => f injektiv
> da g [mm]\circ[/mm] f [mm](x_1)[/mm] = g [mm]\circ[/mm] f [mm](x_2)[/mm]
> => [mm]g(f(x_1))[/mm] = [mm]g(f(x_2)[/mm] => da g [mm]\circ[/mm] f injektiv => [mm]x_1[/mm] =
> [mm]x_2[/mm] => [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
Diese letzte Aussage,
> [mm]x_2[/mm] => [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm],
ist jetzt nicht so der Hit.
Das ist eine Selbstverständlichkeit für jede Funktion, nicht nur für injektive.
Zeigen mußt Du doch. [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
(Im Prinzip hast Du das ja in der Aufgabe zuvor, also in 3. schon gezeigt)
Aber wir machen's hier für die speziellen Voraussetzungen nochmal:
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> [mm] g(f(x_1))=g(f(x_2) [/mm] ) ==> [mm] (g\circ f)(x_1)=... [/mm] ==> [mm] id_A(x_1)=... [/mm] ==> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
> => f [mm]\circ[/mm] g surjektiv => f surjektiv
Auch dies kann man mal weniger allgemein machen, wenn Du nicht auf Aufg. 3 zurückgreifen willst.
Es ist (f [mm]\circ[/mm] g)(b)=b für alle [mm] b\in [/mm] B.
Sei nun [mm] b\in [/mm] B. Mit a:=g(b) gilt:
f(a)=f(g(b))=b, also ist f surjektiv.
> f [mm]\circ[/mm] g surjektiv [mm]\gdw \forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] b' [mm]\in[/mm] B
> : g(f(b')) = b
> => [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : f(a) = b
> => f ist surjektiv
>
> => f ist bijektiv
>
>
> "von links" ist mein Ausgangspunkt, dass f bijektiv ist,
Genau. Das ist die Voraussetzung.
> also:
>
> f ist injektiv => [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
> => [mm]g(f(x_1))[/mm] = [mm]g(f(x_2))[/mm]
Was tust Du hier? Du wurschtelst mit einem g heraum, welches wir überhaupt nicht haben! Das ist etwas ganz Entsetzliches!
Du sollst zeigen, daß es eine Funktion g gibt, die das Geforderte tut.
Dazu mußt Du sie erstmal definieren!
(Ich denke, es ist klar, daß g die Umkehrfunktion von f ist.)
Also:
Sei
[mm] g:B\to [/mm] A
g(b):= ???
Welches Element aus a mußt Du b zuweisen?
Gruß v. Angela
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Okay, nochmal ein Versuch (Aufgabe 2):
<== ("von rechts")
g: B [mm] \to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B
[/mm]
Injektivität:
Sei f(a) = f(a') für a, a' [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] id_A(a) [/mm] = g(f(a)) = g(f(a')) = [mm] id_A(a') [/mm] = a'
[mm] \Rightarrow [/mm] a = a'
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist injektiv
Surjektivität:
f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(g(b)) = b
Da g(b) = a [mm] \Rightarrow \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(a) = b
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
==> ("von links")
Sei g: B [mm] \to [/mm] A
g(b) := a
da [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(a) = b (GENAU EIN, da Bijektiv!)
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : f^-1(b) = a (GENAU EIN)
f^-1 [mm] \circ [/mm] f (a) = f^-1(f(a)) = a = g(f(a)) = g [mm] \circ [/mm] f (a) = [mm] id_A
[/mm]
f [mm] \circ [/mm] f^-1 (b) = f(f^-1(b)) = b = f(g(b)) = f [mm] \circ [/mm] g (b) = [mm] id_B
[/mm]
Ich hoffe, damit bin ich auf dem richtigen Weg.
Liebe Grüße,
Thomas
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> Okay, nochmal ein Versuch (Aufgabe 2):
>
> <== ("von rechts")
>
> g: B [mm]\to[/mm] A mit g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_A[/mm] und f [mm]\circ[/mm] g = [mm]id_B[/mm]
>
> Injektivität:
> Sei f(a) = f(a') für a, a' [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = [mm]id_A(a)[/mm] = g(f(a)) = g(f(a')) = [mm]id_A(a')[/mm] =
> a'
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = a'
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist injektiv
Hallo,
das ist in Ordnung, obgleich ich selbst durchaus noch deutlich den Schritt ==> g(f(a)) = g(f(a')) als zweite Zeile einschieben würde.
Die Beweise sollen ja so sein, daß man nicht viel nachdenken muß.
Es soll auch Deinem Kommilitonen auf den ersten Blick einleuchten.
>
> Surjektivität:
> f [mm]\circ[/mm] g = [mm]id_B[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(g(b)) = b
> Da g(b) = a [mm]\Rightarrow \forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A :
> f(a) = b
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist surjektiv
Wurschtel weniger mit Pfeilen und den schicken Quantoren rum.
Du meinst es völlig richtig.
Surjektivität zu zeigen geht so: man nimmt sich ein Element aus dem Wertebereich, und dann macht man vor, welches Element aus der Definitionsmenge darauf abgebildet wird.
Sei [mm] b\in [/mm] B. (Fernziel: Element a vorzeigen mit f(a)=b)
Nach Voraussetzung ist f(g(b)) = b .
Mit a:=f(b) gilt f(a)=f(g(b))=b.
Also ist f surjektiv.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist bijektiv
>
> ==> ("von links")
> Sei g: B [mm]\to[/mm] A
>
> g(b) := a
Da stelle mer uns ganz dumm: ich wüßte jetzt aus dieser Vorschrift nicht, welches Element ich dem b zuordnen sollte...
Wenn ich mich nicht ganz so dumm stelle, dann weiß ich natürlich, was Du meintest - aber Du mußt es auch schreiben:
g: B [mm]\to[/mm] A
g(b) := a mit f(a)=b.
Damit kann man etwas anfangen, denn die Funktion f gehört zu unseren Voraussetzungen. Die kennen wir, mit der können wir etwas machen.
> da [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : f(a) = b (GENAU EIN,
> da Bijektiv!)
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : f^-1(b) = a
> (GENAU EIN)
Hm. Du hantierst hier mit [mm] f^{-1}. [/mm] Ist die Umkehrfunktion schon eingeführt bei Euch?
Wenn Ihr bereits wißt, daß bijektive Funktionen eine Umkehrfunktion haben, ist natürlich die ganze Aufgabe der totale Pippifax:
mit [mm] g:=f^{-1} [/mm] bist Du dann eigentlich fertig, das Vorrechnen unten ist j nix Berauschendes mehr.
Ich gehe jetzt mal davon aus, daß Ihr das mit der Umkehrfunktion überhaupt noch nicht wißt, denn man kann hier noch etwas lernen, was Du aber schon beachtet hast mit dem Hinweis auf die Bijektivität:
Die Funktionsvorschrift "g(b) := a mit f(a)=b" ist äußerst gefährlich!
1. Wir kommen in Schwierigkeiten, wenn es zwei verschiedene a, a' gibt, die auf b abgebildet werden, dann könnten wir uns nämlich nicht zwischen g(b)=a und g(b)=a' entscheiden. Dies müssen wir ausschließen
Aufgrund der Injektivität von f kann dies nicht vorkommen.
2. Wir müssen sicherstellen, daß wirklich jeden [mm] b\in [/mm] B auf diese Weise ein Funktionswer zugeordnet wird. Dies garantiert uns die Surjektivität von f.
(Diese Überlegungen sind das, was man als Wohldefiniertheit bezeichnet. Später, wenn Ihr Funktionen auf Äquivalenzklassen erklärt, kommt noch ein weiterer Aspekt dazu, daß man nämlich bei Funktionen [mm] h:X\to [/mm] Y auch prüfen muß, ob für x=x' auch f(x)=f(x') richtig ist. Mußt Du jetzt nicht drüer sinnieren, aber vielleicht erinnerst Du Dich spaäter daran.)
Und wenn all dies überlegt ist, dann rechnet man grad noch die beiden Gleichungen vor. Das ist dann die kleinste Übung.
Gruß v. Angela
> f^-1 [mm]\circ[/mm] f (a) = f^-1(f(a)) = a = g(f(a)) = g [mm]\circ[/mm] f (a)
> = [mm]id_A[/mm]
>
> f [mm]\circ[/mm] f^-1 (b) = f(f^-1(b)) = b = f(g(b)) = f [mm]\circ[/mm] g (b)
> = [mm]id_B[/mm]
>
>
>
> Ich hoffe, damit bin ich auf dem richtigen Weg.
>
> Liebe Grüße,
> Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 26.10.2009 | | Autor: | megamoser |
Super, ich habe das Gefühl, dass ich langsam etwas mehr Gefühl für die Sache entwickle. Habe den Aufwand eines Parallelstudiums leider etwas falsch eingeschätzt. Zudem noch seit 4 Jahren ohne Mathematik und aufgrund eines Praktikums war auch kein Vorkurs möglich. Aber ich hoffe, ich kann mich da durchkämpfen.
Auf alle Fälle vielen lieben Dank für deine Unterstützung. Hat mir wirklich sehr geholfen.
Liebe Grüße,
Thomas
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