Beweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:07 Sa 28.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo Leute ich muss mal wieder was beweisen was mir gaaar nicht liegt
[mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] seien 2 lineare Abbildungen [mm] L_1:V->W,L_2:W->V,V=W=R^n [/mm] und die Koeffizientenmatrix von [mm] L_1 [/mm] sei A und die von [mm] L_2 [/mm] sei [mm] A^T
[/mm]
a) Vergleichen sie der Grösse nach: [mm] dim(img(L_1)) [/mm] mit [mm] dim(img(L_2)) [/mm] und [mm] dim(ker(L_1)) [/mm] mit [mm] dim(ker(L_2)) [/mm] und beweisen sie ihre Aussage
b) wie in a) wenn dim(V)<dim(W)
kann mir bitte jemand helfen bei dieser Aufgabe???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Nam |
Die Dimension des Bildes einer Matrix ist der Rang einer Matrix.
Und was tut sich mit dem Rang einer Matrix wenn man transponiert? Genau, gar nichts.
d. h. [mm]dim(Im(A)) = dim(Im(A^T))[/mm]
a) Aus dem Dimensionssatz und der Tatsache, dass V = W, folgt nun, dass auch die Dimensionen der Kerne übereinstimmen:
[mm]dim(Ker(A)) = dim(Ker(A^T))[/mm]
b) Wenn [mm]n := dim(V) < dim(W) =: m[/mm], dann gilt nun laut Dimensionssatz:
[mm]n = dim(Im(A)) + dim(Ker(A))[/mm] und
[mm]m = dim(Im(A^T)) + dim(Ker(A^T)) = dim(Im(A)) + dim(Ker(A^T))[/mm]
[mm]n < m \Rightarrow dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) < dim(Im(A)) + dim(Ker(A^T))[/mm]
[mm]\Rightarrow dim(Ker(A)) < dim(Ker(A^T))[/mm]
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