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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Sei [mm] (A_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge von Ereignissen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:
a) P ( [mm] \bigcup_{n \in \IN}^{} A_{n} [/mm] ) [mm] \le \summe_{n \in \IN}^{} [/mm] P ( [mm] A_{n} [/mm] )
b) Falls [mm] \summe_{n \in \IN}^{} [/mm] P ( [mm] A_{n} [/mm] ) [mm] \le \infty [/mm] ist, gilt P ( [mm] \bigcap_{m \in \IN}^{} \bigcup_{n \ge m}^{} A_{n} [/mm] ) = 0 |
Hallo!
Ich habe Probleme bei folgenden zwei Beweisen. Momentan habe ich mich erst mit a) beschäftigt. Im Internet finde ich diese Aussage an vielen Stellen unter dem Begriff "Subadditivität", habe bisher aber leider noch keinen Beweis dazu gefunden. Kann mir evtl. jemand einen Ansatz geben? Das wäre super!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Gilga |
Stelle dir [mm] $\Omega$ [/mm] und Teilmengen als flächen vor und P als dessen größe.
(mit stift auf papier malen)
Den konkreten Beweis kann aber so leider nicht machen.
Lies dir die Axiome durch und verwende Induktion
Schau mal ob du weiter kommst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo,
das mit den Flächen war ein sehr guter Tipp. Die Aufgabe verstehe ich schon. Allerdings ist es so, dass ich nicht viele Axiome zum Beweisen verwenden kann, da wir Aufgabe a) als drittes Axiom festgelegt haben und ich somit nur die ersten 2 Axiome zum Beweis verwenden kann. Ich kann also verwenden:
- P ( [mm] \emptyset [/mm] ) = 0 und
- P ( [mm] \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} [/mm] ) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] P [mm] (A_{i}) [/mm] für disjunkte Teilmengen [mm] A_{i}
[/mm]
Trotzdem weiß ich irgendwie keinen Ansatz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> das mit den Flächen war ein sehr guter Tipp. Die Aufgabe
> verstehe ich schon. Allerdings ist es so, dass ich nicht
> viele Axiome zum Beweisen verwenden kann, da wir Aufgabe a)
> als drittes Axiom festgelegt haben und ich somit nur die
> ersten 2 Axiome zum Beweis verwenden kann. Ich kann also
> verwenden:
>
> - P ( [mm]\emptyset[/mm] ) = 0 und
> - P ( [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}[/mm] ) = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] P
> [mm](A_{i})[/mm] für disjunkte Teilmengen [mm]A_{i}[/mm]
sollte es bei dem zweiten axiom nich auch für abzählbar viele teilmengen gelten? ansonsten bräuchte man unter umständen die stetigkeit des maßes. aber zu der ersten aufgabe: zerlege die vereinigung in disjunkte teilmengen, etwa [mm] $A_1 \cup A_2 [/mm] = [mm] A_1 \cup (A_2 \setminus A_1)$ [/mm] ist eine disjunkte zerlegung der linken vereinigung und darauf kann man das zweite axiom dann anwenden. wie sieht solch eine zerlegung bei mehr mengen aus? überlege dir weiter, dass $P$ monoton ist, das heißt also $P(B) [mm] \leq [/mm] P(A)$ für $B [mm] \subseteq [/mm] A$. damit sollte man die erste aussage nachweisen können.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 06.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Andreas!
Vielen Dank für den Tipp mit der Konstruktion von paarweisen disjunkten Mengen. Ich habe mich jetzt mal an der Aufgabe versucht. Könnt ihr mir sagen, ob man das so machen kann?:
Also zu a):
Definiere paarweise disjunkte Mengen [mm] B_{i} [/mm] :
[mm] B_{1}= A_{1}
[/mm]
[mm] B_{2}= A_{2} [/mm] \ [mm] A_{1} [/mm] | [mm] A_{2} [/mm] = [mm] B_{1} \cup B_{2}
[/mm]
.
.
.
.
[mm] B_{n} [/mm] = [mm] A_{n} [/mm] \ [mm] A_{n-1} [/mm] = [mm] A_{n} [/mm] \ [mm] \bigcup_{i=1}^{n-1} B_{i} [/mm] | [mm] A_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} B_{i}
[/mm]
Dann gilt:
P ( [mm] \bigcup_{n \in \IN}^{} A_{n} [/mm] ) = P ( [mm] \bigcup_{i \in \IN}^{} B_{i} [/mm] )
= (nach Def.) [mm] \summe_{i \in \IN}^{} [/mm] P [mm] (B_{n})
[/mm]
= [mm] P(B_{1}) [/mm] + [mm] P(B_{2}) [/mm] + .... + [mm] P(B_{n})
[/mm]
[mm] \le P(A_{1}) [/mm] + [mm] P(A_{2}) [/mm] + ... + [mm] P(A_{n}), [/mm] da [mm] B_{i} \subset A_{i}
[/mm]
= [mm] \summe_{n \in \IN}^{} [/mm] P [mm] (A_{n})
[/mm]
Kann man das so beweisen?
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 07.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Definiere paarweise disjunkte Mengen [mm]B_{i}[/mm] :
>
> [mm]B_{1}= A_{1}[/mm]
> [mm]B_{2}= A_{2}[/mm] \ [mm]A_{1}[/mm] | [mm]A_{2}[/mm] = [mm]B_{1} \cup B_{2}[/mm]
>
> .
> .
> .
> .
> [mm]B_{n}[/mm] = [mm]A_{n}[/mm] \ [mm]A_{n-1}[/mm] = [mm]A_{n}[/mm] \ [mm]\bigcup_{i=1}^{n-1} B_{i}[/mm]
> | [mm] A_{n}[/mm] = [mm]\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}[/mm]
die linke seite sieht gut aus. allerdings sollte doch rechts in der zweiten zeile eher [mm] $A_1 \cup A_2 [/mm] = [mm] B_1 \cup B_2$ [/mm] stehen und unten dann [mm] $\bigcup_{i=1}^n A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^n B_i$ [/mm] - du willst doch die gesamte vereinigung in eine disjunkte vereinigung zerlegen
> Dann gilt:
>
> P ( [mm]\bigcup_{n \in \IN}^{} A_{n}[/mm] ) = P ( [mm]\bigcup_{i \in \IN}^{} B_{i}[/mm]
> )
> = (nach Def.) [mm]\summe_{i \in \IN}^{}[/mm] P [mm](B_{n})[/mm]
richtig.
> = [mm]P(B_{1})[/mm] + [mm]P(B_{2})[/mm] + .... + [mm]P(B_{n})[/mm]
warum ist das hier jetzt nur noch eine endliche summe? entweder musst du die gesamte zeit mit den abzählbar vielen mengen arbeiten oder die ganze zeit nur mit endlich vielen. das hängt von der aufgabenstellung und den axiomen, die zur verfügung stehen, ab.
> [mm]\le P(A_{1})[/mm] + [mm]P(A_{2})[/mm] + ... + [mm]P(A_{n}),[/mm] da [mm]B_{i} \subset A_{i}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n \in \IN}^{}[/mm] P [mm](A_{n})[/mm]
wenn man dieses problem behebt stimmt das argument dann aber so.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:08 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ah okay, danke. Also die Aufgabenstellung ist ja eigentlich über alle n [mm] \in \IN. [/mm] Das ist ja eigentlich eine abzählbare Menge. Aber ist nie nicht auch nur endlich, weil es gibt ja nur endlich viele Ereignisse... oder kann man das so nicht sagen? Wenn ich mit einer endlichen Menge arbeiten will, wie muss ich dann argumentieren?
LG Leni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:14 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Jetzt noch zu Aufgabe b. Ich habe lange gebraucht, sie erstmal zu verstehen. Aber jetzt hab ich es glaub. Ist es so gemeint, dass man z.B. zuerst n=1 nimmt, dann alle Ereignisse [mm] \ge [/mm] 1 vereinigt. Das ergibt dann z.B. [mm] B_{1}. [/mm] Dann vereinigt man alle Ereignisse [mm] \ge [/mm] 2. Das ergibt dann z.B. [mm] B_{2} [/mm] usw..... Anschließend schneidet man alle [mm] B_{i}.... [/mm] Ist das so richtig?
Mir ist klar, dass man, je mehr [mm] B_{i} [/mm] man schneidet, immer kleinere Mengen herausbekommt und schließlich bei der leeren Menge landet, wobei [mm] P(\emptyset)=0 [/mm] ist. Aber wie kann ich das jetzt mathematisch beweisen? Hat mir jemand einen Ansatz?
Liebe Grüße und danke schon mal!!
Leni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 09.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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