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Hallo!
Ich sitze seit knapp 3 Stunden an diesen Aufgaben und komme nicht weiter:
Beweise folgende Aussagen:
[mm]
(i) [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} = [mm] 2^n
[/mm]
(ii) [mm] \sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k} [/mm] = 0
(iii)Für alle x größer gleich null: [mm] (1+x)^n [/mm] ist größer gleich [mm] 1+n*x+\bruch{n*(n-1)}{2} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)(n-2)}{6} x^3 [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^4
[/mm]
(iv) [mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} [/mm] a_ij = [mm] \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} [/mm] a_ij
(v) [mm] \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}a_ij [/mm] = [mm] \sum_{v=2}^{n+1} \sum_{m=1}^{v-1}a_m,v-m [/mm] + [mm] \sum_{v=2}^{n} \sum_{m=v}^{n} a_m,n+v-m
[/mm]
[mm/]
Ich brauche dringend Hilfe. Zwar glaube ich, dass die Beweise sehr simpel zu führen sind, aber irgendwie habe ich eine Denkblockade.
Vielen Dank schon mal vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 09.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin deuterinomium!
zu (i)
der beweis ist induktiv über n zu lösen (vollständige Induktion)
meist auch Beispielaufgabe in den meisten Lehrbüchern
zu (ii)
schreib dir doch die Summanden mal hintereinander auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = 1 [mm] \vektor{n\\0} [/mm] - 1 [mm] \vektor{n\\1} [/mm] + ...+ [mm] \vektor{n\\2m} [/mm] - [mm] \vektor{n\\2m+1} +...+\vektor{n\\n-1} [/mm] - [mm] \vektor{n\\n}
[/mm]
und überleg mal was die Beziehung
[mm] \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\n-k} [/mm]
bewirken könnte da hebt sich einiges auf
desweiteren:
[mm] \vektor{n\\0} [/mm] = [mm] \vektor{n\\n} [/mm] =1
noch Fragen? sollte jetz funktionieren
zu (iii)
[mm] (1+x)^{n}>=1+nx [/mm] ist die Bernoulli Ungleichung was du da hast ist wohl noch ein wenig genauer.
wenn du dir [mm] (1+x)^{n} [/mm] mit Hilfe des Binomischen Satzes aufschreibst , so denke ich wirst du die Lösung gleich sehen
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n\\1} a^{n-1} [/mm] b [mm] +\vektor{n\\2} a^{n-2} b^{2} +...+\vektor{n\\n-1} ab^{n-1} [/mm] + [mm] b^{n}
[/mm]
unter Berücksichtigung von :
[mm] \vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \bruch{a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}
[/mm]
dürftest du sehen das da noch was "übrig bleibt" das wegen x>=0 positiv ist
(iv)
schreib die summenanden einzeln auf führe die zwei summationen hintereinander aus und ordne die reihe neu so das es passt
ahnliches gilt denke ich bei (v) bin mir dabei aber nich ganz so sicher weil keine Zeit mehr
viel Spaß noch zwerg
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Hallo zusammen!
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Bei i, ii und iii hats auch geholfen, aber bei den anderen brauch ich immer noch Hilfe! Könnte jemand mir mal die erste Zeile hinschreiben, aus der man dann den Schluss ziehen kann?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
(v) [mm]\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}a_ij[/mm] = [mm]\sum_{v=2}^{n+1} \sum_{m=1}^{v-1}a_m,v-m[/mm] + [mm]\sum_{v=2}^{n} \sum_{m=v}^{n} a_m,n+v-m
[/mm]
Also:
[mm] $\sum\limits_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=2}^n \sum_{i=1}^{j-1} a_{ij} [/mm] + [mm] \sum\limits_{j=1}^n \sum_{i=j}^{n} a_{ij}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=2}^{n+1} \sum_{i=1}^{j-1} a_{i,j-i} [/mm] + [mm] \sum\limits_{j=1}^n \sum_{i=j}^{n} a_{ij}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{j=2}^{n+1} \sum_{i=1}^{j-1} a_{i,j-i} [/mm] + [mm] \sum\limits_{j=1}^n \sum_{i=j}^{n} a_{i,n-i+j}$
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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