Beweis zweier Sätze zu Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Lilith05 |
| Aufgabe | Sei M eine nicht leere Menge und [mm] A\subsetM, B\subsetM, C\subsetM [/mm] .
Zeigen Sie, dass die folgende Aussagen gelten:
1) (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
2) A [mm] \backslash [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] (C [mm] \cup [/mm] A)) = A |
wie in der Aufgabe beschrieben, soll ich diese zwei Aussagen beweisen.
Fangen wir mit meiner Frage zu 1) an:
Ich dachte ich mache es folgender Weise:
Z.zg:
a) [mm] x\in [/mm] [A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A)] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] [ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)]
b) [mm] x\in [/mm] [ (A [mm] \cup [/mm] B) \ ( A [mm] \cap [/mm] B) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] [ A \ B) [mm] \cup [/mm] ( B \ A) ]
Zu a): [mm] x\in [/mm] [A \ B ) [mm] \cup [/mm] ( B \ A ) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B [mm] \wedge x\not\in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B )
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \wedge x\not\in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] [ ( A [mm] \cup [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] B ) ]
Q.E.D
Zu b): [mm] x\in [/mm] [ (A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \backslash [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \wedge x\not\in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B )
[mm] \Rightarrow (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B) [mm] \wedge (x\not\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] ?????
Hier also meine Frage, wie kann ich hier weiter umformen, bis ich zu meinem gewünschten Ergebnis komme? Hinweis: Ich bin im ersten Semester, darf nur die Körper- und Anordnungsaxiome etc. verwenden und muss jeden Schritt begründen können!
Dann meine Frage zu 2):
Z.zg:
a) x [mm] \in [/mm] [ A [mm] \backslash [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A
b) x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in [/mm] [A [mm] \backslash [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ) ]
Hier schon meine Frage: Ich kann weder a) umformen, noch denke ich dass, es überhaupt möglich ist, b) so umzuformen, wie es nötig wäre, um auf die erforderliche Schlussfolgerung zu kommen. Wie also kann ich diese Aufgabe lösen?
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße,
eure Lilith
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei M eine nicht leere Menge und [mm]A\subsetM, B\subsetM, C\subsetM[/mm]
> .
> Zeigen Sie, dass die folgende Aussagen gelten:
> 1) (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A) = (A [mm]\cup[/mm] B)
> [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
> 2) A [mm]\backslash[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] (C [mm]\cup[/mm] A)) = A
> wie in der Aufgabe beschrieben, soll ich diese zwei
> Aussagen beweisen.
> Fangen wir mit meiner Frage zu 1) an:
>
> Ich dachte ich mache es folgender Weise:
> Z.zg:
> a) [mm]x\in[/mm] [A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A)]
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)]
> b) [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B) \ ( A [mm]\cap[/mm] B) ] [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [ A
> \ B) [mm]\cup[/mm] ( B \ A) ]
Hallo,
ja, so macht man das.
>
> Zu a):
Zu zeigen:
> [mm]x\in[/mm] [A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ] [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A [mm]\wedge x\in[/mm] B [mm]\wedge x\not\in[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B )
Beweis:
Es sei [mm] x\in [/mm] [(A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ]
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\wedge x\not\in[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B)
Dieser Schritt geht entschieden zu schnell; ic jedenfalls kann dem so nicht folgen.
Aus [mm] x\in [/mm] [(A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ] folgt doch erstmal
[mm] x\in x\in [/mm] (A \ B ) oder [mm] x\in [/mm] ( B \ A ),
und dann weiter.
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [ ( A [mm]\cup[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] B ) ]
> Q.E.D
>
> Zu b):
Zu zeigen: [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ] [mm]\Rightarrow x\in[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge x\not\in[/mm] ( A[mm]\cap[/mm] B )
Beweis:
Es sei [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ]
> [mm]\Rightarrow (x\in[/mm] A [mm]\wedge x\in[/mm] B) [mm]\wedge (x\not\in[/mm] A [mm]\wedge x\not\in[/mm] B)
Dieser Schluß stimmt nicht. Es war ein Schnellschuß. Mach' nicht mehrere Schritte auf einmal, dann vermeidest Du zumindest einen Teil solcher Fehler.
Aus [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ] folgt erstmal
[mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B und [mm] x\not\in [/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B),
und [mm] x\not\in [/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ist etwas anderes als [mm] x\not\inA[/mm] [mm]\wedge x\not\in[/mm] B.
> Dann meine Frage zu 2):
> Z.zg:
> a) x [mm]\in[/mm] [ A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ) ]
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A
> b) x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] (
> C [mm]\cup[/mm] A ) ) ]
> Hier schon meine Frage: Ich kann weder a) umformen, noch
> denke ich dass, es überhaupt möglich ist, b) so umzuformen,
> wie es nötig wäre, um auf die erforderliche
> Schlussfolgerung zu kommen. Wie also kann ich diese Aufgabe
> lösen?
Du mußt auch hier streng nach Definition vorgehen und vor allem Schritt für Schritt.
z.B. bei a)
Sei x [mm]\in[/mm] [ A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ) ]
==> [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) )
==> [mm] x\in [/mm] A und [ ... ... ... ... ]
Hier solltest Du erstmal innehalten und Dir auf einem Schmierpapier (Bildchen!) klarmachen, was es bedeutet, wenn [mm] x\not\in [/mm] X \ Y.
Diese Aufgabe muß wie eine Zwiebel geschält werden: Schicht um Schicht abziehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Lilith05 |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Ich habe es auf ihrer Basis noch einmal versucht. So sieht das Ergebnis aus:
Zu 1a):
Zu zeigen:
> [mm] x\in [/mm] [ ( A \ B ) [mm] \cup [/mm] ( B \ A ) ] [mm] \Rightarrow [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \backslash [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B )
Es sei:
[mm] x\in [/mm] [ ( A \ B ) [mm] \cup [/mm] ( B \ A ) ] [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \backslash [/mm] B ) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A ) ]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B )
[mm] \Rightarrow [/mm] und so weiter wie schon im ersten Post beschrieben (ich kürze hier mal ab).
Zu 1b):
Zu zeigen: [mm] x\in [/mm] [ (A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \backslash [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] [A \ B ) [mm] \cup [/mm] ( B \ A ) ]
Es sei:
[mm] x\in [/mm] [ (A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \backslash [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B) ]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] A )
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] A )
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] [ ( A [mm] \backslash [/mm] B ) [mm] \wedge [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] A ) ]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] [ ( A [mm] \backslash [/mm] B ) [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] A ) ]
Q.E.D.
Korrekt?
Und mein derzeitiger Stand bei Aufgabeneil 2):
Zu zeigen:
a) x [mm] \in [/mm] [ A [mm] \backslash [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ) ] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A
b) x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in [/mm] [A [mm] \backslash [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ) ]
Es sei:
x [mm] \in [/mm] [ A [mm] \backslash [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ) ]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] ( B [mm] \backslash [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) )
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] [ B [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) ]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] A ) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Das habe ich mir aus mehreren kleinen Bildchen hergeleitet, die ich bei Bedarf auch dazu zeichnen könnte. Aber ich komme hier wieder nicht weiter - wie soll denn daraus jemals einfach nur "A" werden? *verzweifeltguck*
lg, Lilith
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> Zu 1a):
> Zu zeigen:
> > [mm]x\in[/mm] [ ( A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ] [mm]\Rightarrow[/mm] ( A
> [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B )
> Es sei:
> [mm]x\in[/mm] [ ( A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ] [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] ( A
> [mm]\backslash[/mm] B ) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A ) ]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] ( A
> [mm]\cap[/mm] B )
Hallo,
nein, so kannst Du das nicht machen. Selbst, wenn es im Endeffekt stimmt - es ist zu schnell, jedenfalls für mein Denkvermögen.
Du mußt die Klammern erst noch weiter auflösen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] und so weiter wie schon im ersten Post
> beschrieben (ich kürze hier mal ab).
> Zu 1b):
> Zu zeigen: [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ] [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [A \ B ) [mm]\cup[/mm] ( B \ A ) ]
> Es sei:
> [mm]x\in[/mm] [ (A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\backslash[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B) ]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] A )
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] ( B [mm]\cap[/mm] A )
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] [ ( A [mm]\backslash[/mm] B ) [mm]\wedge[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] A ) ]
Auch dieser Schritt geht zu schnell.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] [ ( A [mm]\backslash[/mm] B ) [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm]
> A ) ]
> Q.E.D.
>
> Korrekt?
>
> Und mein derzeitiger Stand bei Aufgabeneil 2):
>
> Zu zeigen:
> a) x [mm]\in[/mm] [ A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ) ] [mm]\Rightarrow x\in[/mm] A
> b) x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow x\in[/mm] [A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ) ]
> Es sei:
> x [mm]\in[/mm] [ A [mm]\backslash[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ) ]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] ( B [mm]\backslash[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) )
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] [ B [mm]\cap[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] A ) ]
Dieser Schritt stimmt nicht.
Guck' Dir nochmal X \ Y an.
[mm] x\in [/mm] X \ Y <==> [mm] x\in [/mm] X und [mm] x\not\inY.
[/mm]
Wenn das nun nicht der Fall ist, dann erhält man
[mm] x\not\in [/mm] X \ Y <==> nicht [mm] (x\in [/mm] X und [mm] x\not\inY) [/mm] <==> x [mm] \not\in [/mm] X oder [mm] x\in [/mm] Y
Gruß v. Angela
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