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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 21.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: p ist von der Form $p = 6k [mm] \pm1$ [/mm] mit $k [mm] \in \IN$, [/mm] wobei $p > 3 Primzahl$ |
Mojn.
Durch ausprobieren fällt mir auf, dass für k=4 beispielsweise 24+1 herauskommt (und 24-1 = 23 entspricht Primzahl). 25 ist ja keine Primzahl, das heißt es gilt manchmal (vielleicht auch immer) nur +1 und manchmal führt -1 zum Erfolg.
Eine Primzahl ist ja eine Zahl, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.
Also zum Beispiel p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,29...
Folglich darf die Primzahl nicht durch 2 teilbar sein (zum Glück ist p=2 ja schon ausgeschlossen), es muss also gelten
i) [mm] $\br{6k\pm1}{2} \not= [/mm] a$ mit [mm] $a\in \IN [/mm] $
Ich würde eigentlich gerne schreiben, dass diese Division einen Rest aufweisen muss, aber weiß jetzt nicht, wie ich das mit dem Modulo (Rest) schreibe. Ist denn die Schreibweise so auch korrekt? Ich meine damit übrigens, dass keine ganze Zahl herauskommen darf (denn ansonsten wäre der Rest ja Null, die Zahl gerade und somit hätte man ja schon nach Definition (außer für p=2) keine Primzahl mehr)
Na ja, ebenfalls darf die Zahl, nicht durch 3,5 und 7 teilbar sein. (4,6,8 kann ich ja ausschließen, da das Vielfache von 2 sind)
Also muss auch gelten
ii) [mm] $\br{6k\pm1}{3} \not= [/mm] b$ mit [mm] $b\in \IN [/mm] $
iii) [mm] $\br{6k\pm1}{5} \not= [/mm] c$ mit [mm] $c\in \IN [/mm] $
iv) [mm] $\br{6k\pm1}{7} \not= [/mm] d$ mit [mm] $d\in \IN [/mm] $
Jetzt folgere ich
[mm] $\br{6k\pm1}{2}= \br{6k}{2}\pm\r{1}{2}$ [/mm] Folglich, nicht durch 2 teilbar
ii) [mm] $\br{6k\pm1}{3} [/mm] = [mm] \br{6k}{3}\pm\br{1}{3}$ [/mm] Folglich, nicht durch 3 teilbar
iii) [mm] $\br{6k\pm1}{5} [/mm] = [mm] \br{6k}{5}\pm\br{1}{5}$ [/mm] Folglich, nicht durch 5 teilbar
iv) [mm] $\br{6k\pm1}{7} [/mm] = [mm] \br{6k}{7}\pm\br{1}{7}$ [/mm] Folglich, nicht durch 7 teilbar
Also Primzahl.
Ich glaube, für so eine ARt der Beweisführung würde ich erschlagen werden, oder?
Wie gehts also nun? :(
Würde mich wahnsinnig freuen, wenn ihr mir helfen würdet!
Danke
Grüße
Phoney
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Mi 22.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo phoney
Ich glaub, du hast die Behauptung falsch verstanden. da steht NICHT jede Zahl der Form [mm] 6k\pm1 [/mm] ist prim! sondern WENN ich eine Primzahl habe, dann kann ich sie als 6k [mm] \pm [/mm] 1 schreiben.
(mit 25 und k=3 hast du ja sonst schon ein Gegenbeispiel zu deinem (falschen) Beweis gefunden.
woher weisst du z.Bsp.iii: dass 6k/5 nicht b+4/5 ist?
Gruss leduart
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Hallo,
wie leduart schon sagte:
Zu zeigen ist: WENN Du eine Primzahl hast, hat sie die angegebene Gestalt.
Du mußt also so beginnen:
Sei p Primzahl mit p=6k+r 0 [mm] \le [/mm] r<6.
Nun kannst Du die möglichen r der Reihe nach abarbeiten. Es geht schnell.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Mojn.
Gut, danke euch beiden. Jetzt ists klarer
Gruß
Johann
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