Beweis zur Dichte < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Fr 26.09.2014 | | Autor: | welt |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einem Beweis den ich gerade gemacht habe
Sei X eine Zufallsvariable von Omega nach IR
(Omega, P, F) sei Wahrscheinlichkeitsraum
es gilt [mm] $P(X^{-1}(-\inf,c]) [/mm] = [mm] \int_{(-\inf,c]} f_X(y) [/mm] dy$
für alle c aus IR wobei [mm] $f_X$ [/mm] die dichte ist
und daraus soll folgen [mm] $P(X^{-1})(B)=\int_B f_X(y) [/mm] dy$
für jede Borelmenge B
also ich habe es geschafft es zu zeigen für die Menge [mm] $G=\{(a,b]:-\inf < a \leq b <\inf \}
[/mm]
Nun bin ich mir nicht ganz sicher wie ich weitermachen soll. DIe Menge G ist ja ein erzeugendensystem der Borelmenge und durchschnittstabil.
es würde also reichen für das d(G) wobei d für das erzeugte Dynkin system steht.
Kann ich denn jede Menge aus d(G) als disjunkte Vereinigung von Intervallen darstellen? DAs war meine erste Idee und wenn ich das annehme, dann würde es klappen, aber darf ich das?
mfG
ps: wusste nicht ob das in stochastik oder int theorie gehört also bitte einfach verschieben wenn es hier falsch ist
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Hiho,
> also ich habe es geschafft es zu zeigen für die Menge
> [mm]$G=\{(a,b]:-\inf < a \leq b <\inf \}[/mm]
Das ist das wichtigste.
> DIe Menge G ist ja ein erzeugendensystem der Borelmenge und durchschnittstabil
> Kann ich denn jede Menge aus d(G) als disjunkte Vereinigung von Intervallen darstellen?
Nein, das kannst du nicht.
Aber du hast eigentlich alles, was du brauchst. Ihr hattet bestimmt das monotone Klassen Theorem, das jetzt genau das aussagt:
Eine Aussage A gilt für alle Mengen eines durchschnittsstabilen Erzeugers einer Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] dann gilt A auch für alle Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$.
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:29 Fr 26.09.2014 | | Autor: | welt |
Hallo,
unglaublicherweise kannte ich dieses THeorem noch nicht.
Ich hab jetzt ein wenig gegoogeld und verschiedene Aussagen dazu gefunden.
DIe, die deiner am nächsten kommt wäre:
Sei C ein durchschnittstabiles System und D ein Dynkin System
dann gilt [mm] o(C)$\subseteq$D
[/mm]
natürlich kenne ich den Satz C ist Durchschnitt stabil dann folgt o(C)=d(C)
und damit ist der Beweis ja eigtl auch schon fertig
ich hab jetzt einfach gezeigt, dass die Menge aller Teilmengen der Potenzmenge von R, für die die ursprüngliche Behauptung gilt ein Dynkin System ist.
Allerdings ist deine Aussage sehr schön und ich würde sie auch gerne iwo bewiesen haben, hast du vllt nen Link oder n SKript oder so wo ich mir das mal nachlesen kann?
Hab so wie du es aufgeschrieben hast leider nirgends gefunden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 28.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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