Beweis zu rationalen Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Sa 29.10.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich verstehe etwas bei einem kurzen Beweis nicht. Und zwar geht es um den Beweis, dass wenn p und q rationale Zahlen sind und p < q, es immer mindestens eine rationale Zahl gibt die dazwischen liegt, also dass p < r < q gilt.
Hier setzt man einfach r = [mm] \frac{p+q}{2} [/mm] und somit erhält man wieder eine rationale Zahl, die zwischen p und q liegt.
Was ich nicht verstehe ist, wieso man die Summe zweier rationaler Zahlen einfach durch 2 teilen kann. Woher weiß man, dass in der Summe (p + q) auf jeden Fall der Faktor 2 vorkommt, sodass man die 2 im Nenner mit dem auftretenden Faktor 2 im Zähler kürzen kann?
Als Beispiel habe ich mal genommen p = [mm] \frac{1}{11} [/mm] und q = [mm] \frac{1}{7}.
[/mm]
p + q = [mm] \frac{7}{77} [/mm] + [mm] \frac{11}{77} [/mm] = [mm] \frac{18}{77}.
[/mm]
Hier könnte ich (p+q) auf jeden Fall durch 2 teilen und würde [mm] \frac{9}{77} [/mm] bekommen.
Aber wieso kann ich das für jede rationale Zahl annehmen?
Für eure Tipps wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 29.10.2016 | | Autor: | fred97 |
Es soll doch gelten, wobei p und q rational sind:
1. p <r <q und 2. r ist rational.
ist nun r= [mm] \bruch{p}{q}, [/mm] so sind beide Forderungen erfüllt. Wo hast Du Zweifel bei 1. oder 2. ?
Edit: ich meinte natürlich r= [mm] \bruch{p+q}{2}
[/mm]
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Sa 29.10.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo fred,
danke erstmal für deine Antwort!
Hm bist du sicher, dass bei r = [mm] \frac{p}{q} [/mm] die Forderung p < r < q erfüllt ist?
Für z.B. p = [mm] \frac{2}{1} [/mm] und q = [mm] \frac{4}{1} [/mm] würde man dann erhalten
r = [mm] \frac{\frac{2}{1}}{\frac{4}{1}} [/mm] = [mm] \frac{2}{1} [/mm] * [mm] \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] und damit läge r nicht zwischen p und q.
Im Beweis wird r = [mm] \frac{p+q}{2} [/mm] gesetzt, und hier liegt mein Verständnisproblem eben darin, ob die Definition von r voraussetzt, dass bei Addition von p und q durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner und anschließender Addition im Zähler ein Faktor 2 vorkommt (so wie in meinem Beispiel p + q = [mm] \frac{18}{17} [/mm] ja auch geschrieben werden kann als [mm] \frac{2*9}{17} [/mm] und somit das Teilen durch 2 ergeben würde [mm] \frac{9}{17}.
[/mm]
Ich habe mir inzwischen etwas anderes überlegt: muss beim Addieren von p + q durch Erweiterung auf denselben Nenner und anschließender Addition im Zähler ein Faktor 2 im Zähler vorkommen, um diese dann mit der auftretenden 2 in r = [mm] \frac{p+q}{2} [/mm] zu kürzen?
Oder kann ich die Zahl r einfach allgemein auffassen als die Summe s = p+q zweier rationaler Zahlen, wobei s wiederum eine rationale Zahl ist, multipliziert mit der rationalen Zahl [mm] \frac{1}{2}, [/mm] wobei das Produkt aus der rationalen Zahl s und der rationalen Zahl [mm] \frac{1}{2} [/mm] wieder eine rationale Zahl ergibt?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Jellal |
Fred hat sich bestimmt verlesen.
Also, der Beweis ist ganz einfach:
Wenn p und q jeweils rational sind, heißt das, dass beide als Bruch geschrieben werden können. Wenn du zwei Brüche addierst, bekommst du auf jeden Fall wieder eine Zahl raus, die du als Bruch schreiben kannst (das kannst du selbst zeigen, indem du zwei beliebige Brüche addierst, indem du sie vorher gleichnamig machst).
Wenn du dann den neuen Bruch durch 2 teilst, musst du den Nenner einfach mit 2 multiplizieren und bekommst wieder einen Bruch:
Wenn p,q rational sind, dann ist auch [mm] \bruch{p+q}{2} [/mm] rational.
Das musst du nur noch mathematisch aufschreiben.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 29.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
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> danke erstmal für deine Antwort!
>
> Hm bist du sicher, dass bei r = [mm]\frac{p}{q}[/mm] die Forderung p
> < r < q erfüllt ist?
Ich hatte mich verschrieben. Ich meinte natürlich r= [mm] \bruch{p+q}{2}
[/mm]
FRED
>
> Für z.B. p = [mm]\frac{2}{1}[/mm] und q = [mm]\frac{4}{1}[/mm] würde man
> dann erhalten
> r = [mm]\frac{\frac{2}{1}}{\frac{4}{1}}[/mm] = [mm]\frac{2}{1}[/mm] *
> [mm]\frac{1}{4}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] und damit läge r nicht zwischen
> p und q.
>
> Im Beweis wird r = [mm]\frac{p+q}{2}[/mm] gesetzt, und hier liegt
> mein Verständnisproblem eben darin, ob die Definition von
> r voraussetzt, dass bei Addition von p und q durch
> Erweitern auf den gemeinsamen Nenner und anschließender
> Addition im Zähler ein Faktor 2 vorkommt (so wie in meinem
> Beispiel p + q = [mm]\frac{18}{17}[/mm] ja auch geschrieben werden
> kann als [mm]\frac{2*9}{17}[/mm] und somit das Teilen durch 2
> ergeben würde [mm]\frac{9}{17}.[/mm]
>
> Ich habe mir inzwischen etwas anderes überlegt: muss beim
> Addieren von p + q durch Erweiterung auf denselben Nenner
> und anschließender Addition im Zähler ein Faktor 2 im
> Zähler vorkommen, um diese dann mit der auftretenden 2 in
> r = [mm]\frac{p+q}{2}[/mm] zu kürzen?
> Oder kann ich die Zahl r einfach allgemein auffassen als
> die Summe s = p+q zweier rationaler Zahlen, wobei s
> wiederum eine rationale Zahl ist, multipliziert mit der
> rationalen Zahl [mm]\frac{1}{2},[/mm] wobei das Produkt aus der
> rationalen Zahl s und der rationalen Zahl [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> wieder eine rationale Zahl ergibt?
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Jellal |
Hey Fred,
ist dir da ein Fehler passiert? p/q liegt doch nicht immer zwischen p und q!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Calculu |
> Hallo zusammen!
>
> Ich verstehe etwas bei einem kurzen Beweis nicht. Und zwar
> geht es um den Beweis, dass wenn p und q rationale Zahlen
> sind und p < q, es immer mindestens eine rationale Zahl
> gibt die dazwischen liegt, also dass p < r < q gilt.
>
> Hier setzt man einfach r = [mm]\frac{p+q}{2}[/mm] und somit erhält
> man wieder eine rationale Zahl, die zwischen p und q
> liegt.
>
> Was ich nicht verstehe ist, wieso man die Summe zweier
> rationaler Zahlen einfach durch 2 teilen kann.
Die rationalen Zahlen sind (u.a.) abgeschlossen bezüglich der Addition.
Also ist p+q auf jeden Fall eine rationale Zahl. Wenn du diese durch 2 dividierst ist dies äquivalent mit einer Multiplikation mit [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] also bekommst du wieder eine rationale Zahl als Ergebnis. Ist es jetzt klarer geworden?
Evtl. kannst du es dir auch so veranschaulichen indem du dir klar machst, dass die rationalen Zahlen auch abgschlossen bezüglich der Multiplikation und der Division sind (das steckt ja indirekt in meiner obigen Erklärung mit drin).
Hatte Jellals Antwort (18.23Uhr) nicht gesehen.
Woher weiß
> man, dass in der Summe (p + q) auf jeden Fall der Faktor 2
> vorkommt, sodass man die 2 im Nenner mit dem auftretenden
> Faktor 2 im Zähler kürzen kann?
>
> Als Beispiel habe ich mal genommen p = [mm]\frac{1}{11}[/mm] und q =
> [mm]\frac{1}{7}.[/mm]
> p + q = [mm]\frac{7}{77}[/mm] + [mm]\frac{11}{77}[/mm] = [mm]\frac{18}{77}.[/mm]
> Hier könnte ich (p+q) auf jeden Fall durch 2 teilen und
> würde [mm]\frac{9}{77}[/mm] bekommen.
> Aber wieso kann ich das für jede rationale Zahl
> annehmen?
>
> Für eure Tipps wäre ich sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 So 30.10.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
danke nochmals für eure Antworten, mir leuchtet die Sache nun ein! 
Viele Grüße,
X3nion
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