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| Aufgabe | | Seien [mm] z_{1}, z_{2}, z_{3} [/mm] paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Beweisen Sie die folgende Aussage: Genau dann liegen sie auf einer Geraden in der Ebene, wenn [mm] \bruch{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z_{1}} \in \IR [/mm] gilt. |
Da es sich hierbei um eine äquivalente Aussage handelt, muss man sowohl die Hin- als auch die Rückrichtung zeigen. Für die Hinrichtung habe ich leider keinen Ansatz und bei der Rückrichtung komme ich nicht mehr weiter. Ich hab wie folgt angefangen:
Seien [mm] z_{1} [/mm] = a+bi, [mm] z_{2} [/mm] = c+di, [mm] z_{3} [/mm] = e+fi. Damit habe ich [mm] \bruch{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z_{1}} \in \IR [/mm] soweit berechnet bis ich eine komplexe Zahl dort stehen hatte. Dann weiß man, dass der Imaginärteil Null sein muss, weil es ja reell sein soll. Wenn man den Imaginärteil weiter umformt, erhält man: b = [mm] \bruch{a * (d-f)}{-e+f} [/mm] - [mm] \bruch{de+cf}{-e+c} [/mm] Dies ist ja meine Geradengleichung, aber wie kann ich nun zeigen, dass meine drei komplexen Zahlen alle auf der Geraden liegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Vor.: $ [mm] z_{1}, z_{2}, z_{3} [/mm] $ liegen auf einer Geraden.
Diese Gerade hat die Gleichung $z(t) = [mm] z_0+t*w_0$ [/mm] (t [mm] \in \IR)
[/mm]
Für j=1,2,3 gibt es ein [mm] t_j \in \IR [/mm] mit: [mm] $z_j [/mm] = [mm] z_0+t_j*w_0$ [/mm]
Nun berechne mal [mm] \bruch{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z_{1}}
[/mm]
2. Vor.: $ [mm] \bruch{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z_{1}} \in \IR [/mm] $
Also gibt es ein t [mm] \in \IR [/mm] mit:
$ [mm] \bruch{z_{2} - z_{1}}{z_{3} - z_{1}} [/mm] =t$
Stelle die letzte Gleichung nach [mm] z_2 [/mm] um. Dann siehst Du:
$ [mm] z_{1}, z_{2}, z_{3} [/mm] $ liegen auf der Geraden mit der Gleichung
$ z(t) = ????$
FRED
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