Beweis zu Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Di 15.05.2012 | | Autor: | math1987 |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Mengen:
[mm] M_1 [/mm] :={x∈X [mm] |x_1 [/mm] ≤−1}∪{x∈X [mm] |x_1 [/mm] ≥0}∪{x∈X [mm] |x_2 [/mm] ≤0}∪{x∈X [mm] |x_2 [/mm] ≥1}
und
[mm] M_2 [/mm] := [mm] {(x,y)\in X x B^4 |y_1(x_1 +1)\le0, y_2(-x_1)\le0, y_3x_2\le0, y_4(1-x_2)\le0, y_1 +y_2 +y_3 +y_4\ge1} [/mm]
mit X [mm] :={x\in R^2 |-2\le x_1 \le2, -1\le x_2 \le2}.
[/mm]
Beweise:
[mm] M_1 [/mm] = [mm] pr_xM_2 [/mm] . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze nun schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe ohne das etwas zählbares dabei herausgekommen ist.
Es wäre super wenn mir jemand einen Tipp zum Ansatz der Beweisführung geben könnte.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Di 15.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben seien die folgenden Mengen:
> [mm]M_1[/mm] := [mm]\{x \in X |x_1 \le −1\}\cup \{x \in X| x_1\ge 0\} \cup \{x \in X |x_2 \le 0 \} \cup \{x \in X |x_2 \ge 1\}[/mm]
> und
> [mm]M_2[/mm] := [mm]\{(x,y)\in X x B^4 |y_1(x_1 +1)\le0, y_2(-x_1)\le0, y_3x_2\le0, y_4(1-x_2)\le0, y_1 +y_2 +y_3 +y_4\ge1\}[/mm]
>
> mit X [mm]:= \{x\in R^2 |-2\le x_1 \le2, -1\le x_2 \le2 \}.[/mm]
>
> Beweise:
> [mm]M_1[/mm] = [mm]pr_xM_2[/mm] .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich sitze nun schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe ohne
> das etwas zählbares dabei herausgekommen ist.
>
> Es wäre super wenn mir jemand einen Tipp zum Ansatz der
> Beweisführung geben könnte.
Erstmal [mm]pr_xM_2[/mm] aufschreiben.
Für [mm]M_1 \subset pr_xM_2[/mm]:
Die Bedingungen für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$
[/mm]
aus der Definition der Menge [mm] $M_1$ [/mm] nehmen und zeigen,
dass damit diese [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] aus [mm] $pr_xM_2$ [/mm] sind.
Für [mm]pr_xM_2 \subset M_1[/mm]:
[mm]M_2[/mm] lässt sich auch schreiben als
[mm]M_2[/mm] = [mm]\{(x,y)\in X \times B^4 |y_1(x_1 +1)\le0\} \cap \{(x,y)\in X \times B^4 |y_2(-x_1)\le0\} \cap \{(x,y)\in X \times B^4 |y_3x_2\le0\} \cap \{(x,y)\in X \times B^4 |y_4(1-x_2)\le0\} \cap \{(x,y)\in X \times B^4 |y_1 +y_2 +y_3 +y_4\ge1\}[/mm].
z.B.: [mm] $y_1(x_1 +1)\le0 \gdw (y_1 \le [/mm] 0 [mm] \vee x_1 \le [/mm] -1)$
Aus diesen Bedingungen von [mm] $M_2$ [/mm] (und von [mm] $pr_xM_2$) [/mm] sollten sich die
Bedingungen von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] aus der Definition der Menge [mm] $M_1$ [/mm]
herleiten lassen.
>
> Viele Grüße
Gruß
meili
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