Beweis zu Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 17.04.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Sei p eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, dass
[mm] 2^{2}*4^{2}***(p-3)^{2}*(p-1)^{2} \equiv (-1)^{\bruch{1}{2}(p+1)} [/mm] (mod p).
(Ohne Beweis darf der Wilson'sche Satz verwendet werden: Eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn (n-1)! + 1 durch n teilbar ist. |
Hallo,
ich habe mehrere Aufgaben diesen Typs und weiß nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Di 17.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei p eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]2^{2}*4^{2}***(p-3)^{2}*(p-1)^{2} \equiv (-1)^{\bruch{1}{2}(p+1)}[/mm]
> (mod p).
>
> (Ohne Beweis darf der Wilson'sche Satz verwendet werden:
> Eine natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2 ist genau dann eine Primzahl,
> wenn (n-1)! + 1 durch n teilbar ist.
> Hallo,
>
> ich habe mehrere Aufgaben diesen Typs und weiß nicht wie
> ich an die Aufgabe ran gehen soll.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Es gilt [mm] $2^2 \equiv [/mm] (-1) [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] (p - 2) [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Damit kannst du das Produkt auf der linken Seite als $(p - 1)!$ mal eine passende Potenz von $(-1)$ schreiben.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:20 Mi 18.04.2012 | | Autor: | teo |
> Es gilt [mm]2^2 \equiv (-1) \cdot 2 \cdot (p - 2) \pmod{p}[/mm].
Wie bekommt man das? Den Schritt verstehe ich leider nicht.
> Damit kannst du das Produkt auf der linken Seite als [mm](p - 1)![/mm]
> mal eine passende Potenz von [mm](-1)[/mm] schreiben.
Vlt bekomm ich dann das auch hin... Danke!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Do 19.04.2012 | | Autor: | teo |
AH! Jetzt hats geschnaggelt..
Es gilt allgemein [mm] k^{2} \equiv [/mm] (-1)k(p-k) (mod p) also erhält man eben:
> > Damit kannst du das Produkt auf der linken Seite als [mm](p - 1)![/mm]
> > mal eine passende Potenz von [mm](-1)[/mm] schreiben.
[mm] 2^{2} [/mm] usw [mm] \equiv (-1)^{\bruch{p-1}{2}}(p-1)! [/mm] (mod p)
und dann folgt mit dem obigen Satz die Behauptung.
Vielen Dank
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 21.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Mi 25.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> AH! Jetzt hats geschnaggelt..
>
> Es gilt allgemein [mm]k^{2} \equiv[/mm] (-1)k(p-k) (mod p) also
> erhält man eben:
>
> > > Damit kannst du das Produkt auf der linken Seite als [mm](p - 1)![/mm]
> > > mal eine passende Potenz von [mm](-1)[/mm] schreiben.
>
> [mm]2^{2}[/mm] usw [mm]\equiv (-1)^{\bruch{p-1}{2}}(p-1)![/mm] (mod p)
>
> und dann folgt mit dem obigen Satz die Behauptung.
Genau.
(Und sorry das ich erst jetzt antworte... War zuviel los in der letzten Zeit, hab die Frage dann ganz aus den Augen verloren...)
LG Felix
|
|
|
|
