Beweis zu Gleichungssystemen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Do 27.08.2009 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe | [mm] (I)A\vec{x}=\vec{b} [/mm] inhomogenes Gleichungssystem mit Lösungsmenge [mm] L_{I}
[/mm]
[mm] (II)A\vec{x}=\vec{0} [/mm] homogenes Gleichungssystem mit Lösungsmenge [mm] L_{H}
[/mm]
Sei [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] lösbar und sei [mm] \overrightarrow{x_{0}} [/mm] spezielle Lösung. Dann gilt:
[mm] \vektor{i} L_{H} [/mm] Teilraum von [mm] \IK^{n}
[/mm]
[mm] \vektor{ii} L_{I}=L=\overrightarrow{x_{0}}+L_{H}
[/mm]
[mm] \vektor{iii} L_{I}=L [/mm] ist ein affiner Teilraum des [mm] \IK^{n} [/mm] mit der Richtung [mm] L_{H}
[/mm]
[mm] \vektor{iv} [/mm] (II) ist immer Lösbar, (I) ist genau dann eindeutig lösbar, wenn (II) nur die triviale Lösung besitzt.
[mm] \vektor{v} [/mm] Ein LGS ist entweder eindeutig, nicht oder mehrdeutig lösbar |
Hallo!
Also, wir müssen nun diesen Satz beweisen. Die Beweise von [mm] \vektor{i}, \vektor{ii} [/mm] und [mm] \vektor{iv} [/mm] habe ich in unserem Skriptum gefunden.
Mein Problem ist nun, ich habe keine Ahnung wie ich die Beweise zu [mm] \vektor{iii} [/mm] und [mm] \vektor{v} [/mm] angehen sollte. Ich weiß nicht mal wie ich ihn beginnen könnte!
Könnte mir jemand Tipps geben, wie ich an diesen Beweis heran gehen kann?
Vielen Dank im Vorhinein für euer Bemühen!
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 27.08.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
wirklich zu beweisen ist da nicht mehr viel! Beide Behauptungen folgen unmittelbar aus den anderen Behauptungen.
> [mm]\vektor{iii} L_{I}=L[/mm] ist ein affiner Teilraum des [mm]\IK^{n}[/mm]
> mit der Richtung [mm]L_{H}[/mm]
Zu (iii): Folgt direkt aus (ii) und (i) mit der Definition von affinen Unterräumen.
> [mm]\vektor{v}[/mm] Ein LGS ist entweder eindeutig, nicht oder
> mehrdeutig lösbar
Zu (v): Betrachten wir das System (II). Nach (i) ist die Lösungsmenge [mm] $L_H$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $\IK^n$. [/mm] Wieviele Elemente kann ein linearer Unterraum haben? (Tipp: es gibt genau drei Möglichkeiten!)
Analog für das System (I).
Gruß,
zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!!
Erstmals vielen Dank für die rasche Antwort.
Zu [mm] \vektor{iii} [/mm] passt es, wenn ich es so aufschreib:
Aus [mm] \vektor{i} [/mm] & [mm] \vektor{ii} [/mm] folgt [mm] L_{I}\subseteq [/mm] V, [mm] L_{H} [/mm] ist Unterraum von [mm] \IK^{n}, \overrightarrow{x_{0}}\in\IK^{n}
[/mm]
[mm] L_{I}=\overrightarrow{x_{0}}+L_{H}=\{\overrightarrow{x_{0}}+\vec{h} | \vec{h}\in L_{H}\} [/mm] somit ist die Definition erfüllt [mm] \Box
[/mm]
Zu [mm] \vektor{v} [/mm] weiß ich nicht genau wie ich es aufschreiben sollte...
Ich mein ja klar, entweder es gibt keine Lösung, n-viele oder <n viele
Aber ich weiß nicht wirklich wie ich es aufschreiben sollte...
Vielleicht kannst du mir ja dazu auch noch einen Tipp geben?
vielen Dank!
Lg,
Imbecile
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> Hallo!!
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> Erstmals vielen Dank für die rasche Antwort.
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> Zu [mm]\vektor{iii}[/mm] passt es, wenn ich es so aufschreib:
> Aus [mm]\vektor{i}[/mm] & [mm]\vektor{ii}[/mm] folgt [mm]L_{I}\subseteq[/mm] V, [mm]L_{H}[/mm]
> ist Unterraum von [mm]\IK^{n}, \overrightarrow{x_{0}}\in\IK^{n}[/mm]
>
> [mm]L_{I}=\overrightarrow{x_{0}}+L_{H}=\{\overrightarrow{x_{0}}+\vec{h} | \vec{h}\in L_{H}\}[/mm]
> somit ist die Definition erfüllt [mm]\Box[/mm]
Hallo,
ja, so kannst Du das machen. Es kommt halt darauf an, daß Du Dich irgendwie auf die Def. des affinen Teilraums beruftst.
>
>
> Zu [mm]\vektor{v}[/mm] weiß ich nicht genau wie ich es aufschreiben
> sollte...
Bei der (v) gibt's absolut nichts zu schreiben.
Es kann doch mit einem Gleichungssystem, egal ob es linear oder sonstwas ist, überheupt nichts anderes sein, als daß es keine, genau eine oder mehr als eine Lösung hat.
Nun kann ich mir allerdings vorstellen, daß dort stand, daß Du zeigen sollst, daß es nicht, eindeutig oder "mehrdeutig (mit unendlich vielen Lösungen)" zu lösen ist, und wenn es nicht so dastand, ist es so gemeint.
Du kannst das so machen: nimm an, Du hättest zwei verschiedene Lösungen [mm] \vec{x_1} [/mm] und [mm] \vec{x_2}, [/mm] und rechne vor, daß der affine Raum [mm] \vec{x_1}+<\vec{x_2}-\vec{x_1}> [/mm] eine Teilmenge der Lösungsmenge ist.
Gruß v. Angela
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