Beweis zu Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei D [mm] \in Mat(n,n;\IC) [/mm] mit [mm] D^{4}=E [/mm] Zeigen Sie: D ist diagonalisierbar. |
Mein Beweis:
Wissen: [mm] D^4 [/mm] = E [mm] \gdw D^2 =(D^{-1})^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow D^4=DDD^2=S^{-1}DS=E, [/mm] wenn man [mm] S:=D^2
[/mm]
Also ist D ähnlich zu E und somit diagonalisierbar.
Ich habe das Gefühl mein Beweis ist falsch.
|
|
| |
|
Ich weiß jetzt wo mein Fehler ist:
> Mein Beweis:
> Wissen: [mm]D^4[/mm] = E [mm]\gdw D^2 =(D^{-1})^2[/mm]
Hier habe ich angenommen, dass [mm] D^2 [/mm] das inverse Element zu D ist, aber [mm] D^2 [/mm] ist nur zu sich selbst invers.
also ist der rest falsch. weiß jemand eine alternative?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 So 20.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei D [mm]\in Mat(n,n;\IC)[/mm] mit [mm]D^{4}=E[/mm] Zeigen Sie: D ist
> diagonalisierbar.
> Mein Beweis:
> Wissen: [mm]D^4[/mm] = E [mm]\gdw D^2 =(D^{-1})^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow D^4=DDD^2=S^{-1}DS=E,[/mm]
> wenn man [mm]S:=D^2[/mm]
> Also ist D ähnlich zu E und somit diagonalisierbar.
>
> Ich habe das Gefühl mein Beweis ist falsch.
Warum er falsch ist hast du ja schon gemerkt.
Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also nimm ein invertierbares $S$ so, dass [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ in JNF ist. Dann ist $E = [mm] S^{-1} D^4 [/mm] S = [mm] (S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4$.
[/mm]
Wie sieht nun [mm] $(S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4$ [/mm] aus, wenn [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ in JNF ist? Was kannst du damit ueber die JNF [mm] $S^{-1} [/mm] D S$ sagen?
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also
> nimm ein invertierbares [mm]S[/mm] so, dass [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF ist.
> Dann ist [mm]E = S^{-1} D^4 S = (S^{-1} D S)^4[/mm].
Warum gilt das denn: [mm] S^{-1} D^4 [/mm] S = [mm] (S^{-1} [/mm] D [mm] S)^4 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
> > Aber du kannst doch eine Jordansche Normalform nehmen. Also
> > nimm ein invertierbares [mm]S[/mm] so, dass [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF ist.
> > Dann ist [mm]E = S^{-1} D^4 S = (S^{-1} D S)^4[/mm].
> Warum gilt
> das denn: [mm]S^{-1} D^4[/mm] S = [mm](S^{-1}[/mm] D [mm]S)^4[/mm] ?
Hallo,
schreib die rechte Seite doch mal aus, dann siehst Du's.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Wie sieht nun [mm](S^{-1} D S)^4[/mm] aus, wenn [mm]S^{-1} D S[/mm] in JNF
> ist? Was kannst du damit ueber die JNF [mm]S^{-1} D S[/mm] sagen?
>
Die JNF [mm]S^{-1} D S[/mm] darf nur Eigenwerte 1 haben, weil ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben!?!
|
|
|
|
