Beweis zu Basis und Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei U ein echter Unterraum von V. Zeigen Sie: Es gibt eine Basis v1,...vn des V derart, dass kein vi in U liegt. |
Ich hab immer Schwierigkeiten mit solchen Beweisen.
Suche ich hier ohne Dimensionsangaben und ohne konkrete Vektoren eine Menge linear abhängiger Vektoren aus V? Welche eigenschaft hat U, ausser das er eine Teilmege von V ist?
Hier fehlt der Ansatz völig!
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> Sei U ein echter Unterraum von V. Zeigen Sie: Es gibt eine
> Basis v1,...vn des V derart, dass kein vi in U liegt.
> Ich hab immer Schwierigkeiten mit solchen Beweisen.
> Suche ich hier ohne Dimensionsangaben und ohne konkrete
> Vektoren eine Menge linear abhängiger Vektoren aus V?
> Welche eigenschaft hat U, ausser das er eine Teilmege von V
> ist?
> Hier fehlt der Ansatz völig!
Hallo,
Du hast hier einen n-dimensionalen (das schließe ich aus Indizien - aus welchen eigentlich?) Vektorraum V und einen echten (!) Unterraum U von V.
Die Dimension dieses Raumes ist also kleiner als n, etwa k<n.
Du weißt also sehr viel über die Dimensionen.
Damit weißt Du auch etwas über die Anzahl der Elemente irgendeiner Basis von U.
Verwende den Basisergänzungssatz, um eine spezielle Basis von V zu bekommen. (Alternativ, falls das dran war: ergänze U durch eine Raum W so, daß die direkte Summe aus U und W gerade V ergibt. Auch damit bekommst Du eine brauchbare Basis von V)
Danach kannst Du Dir dann überlegen, wie Du jetzt die Basis von V so "verderben" kannst, daß keiner der Basisvektoren mehr in U liegt.
Gruß v. Angela
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also "v1 bis vn" zeigt, V ist offenbar n-dimensional. Irgendein k ist kleiner als n und k ist die Dimension von U, der hat dann k Basisvektoren. Na gut.
Den Basisergänzungssatz habe ich in verschiedenen Formulierungen gelesen. Zum Beispiel: Jedes System linear unabhängiger Vektoren kann zu einer Basis ergänzt werden. (a1 bis ak sind lin. unabh. und ich kann dann mit ak+1 bis an zu einer Basis ergänzen.
Was habe ich davon bzw. was habe ich da gezeigt?
In der aufgabe soll ich "zeigen", dass es eine Basis gibt, die gewisse Bedingungen erfüllt. Soll ich einfach so "konstruieren", dass eine beliebige Basis aus v1 bis vk und vk+1 bis vn gebildet wird. Das ist doch gegeben?
Das mit dem "verderben" kann ich mir so recht nicht vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell dirs erstmal im [mm] R^3 [/mm] vor mit Standardbasis, der UR ist 2d. a) der Unterraum U enthaelt sowieso keinen der Basisvektoren
dann bist du fertig.
b) mindestens einer der basisvektoren liegt in U, (im beispiel der U enthaelt di x- achse oder die x und die y-achse also v1=(1,0,0)und v2=(0,1,0) v3=(0,0,1) liegt nicht in U
wie verdirbst du jetzt die 2 die drin liegen?
wie waers mit e1+e3 und e2+e3 bilden die mit e3 zusammen ne basis des [mm] R^3 [/mm] die nicht in [mm] R^3 [/mm] liegt?
kannst du das auf hoehere dimensionen erweitern ?
Gruss leduart
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Zunächst bin ich begistert, weil die Idee mit der Veranschualichung n=3 und k<3, also 2 oder1 manches erhellt.
Jetzt wirds mir aber fast zu einfach,wenn ich so argumentiere:
Sei die Dimension von U gleich k(<n), damit können maximal k der Basisivektoren von V in U liegen. (Im ungünstigsten Fall verbleibt immer noch einer, allgemein n-k).
Ich soll ja "nur" zeigen, dass es eine Basis "gibt" (Existenzbeweis). Entsprechend Deiner Idee bilde ich jetzt jeweils die Summe der in U liegenden Basisvektoren mit einem (bliebigen) Basisvektor, der nicht in U liegt.
Die entstehenden Basisvektoren legenalle ncih in U und damit ist die Existenz einer Basis gezeigt.
Ich brauche ja keine konkrete Basis und wozu brauche ich eigentlich den Basisergänzungssatz?
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> Zunächst bin ich begistert, weil die Idee mit der
> Veranschualichung n=3 und k<3, also 2 oder1 manches
> erhellt.
>
> Jetzt wirds mir aber fast zu einfach,wenn ich so
> argumentiere:
> Sei die Dimension von U gleich k(<n), damit können maximal
> k der Basisivektoren von V in U liegen. (Im ungünstigsten
> Fall verbleibt immer noch einer, allgemein n-k).
> Ich soll ja "nur" zeigen, dass es eine Basis "gibt"
> (Existenzbeweis). Entsprechend Deiner Idee bilde ich jetzt
> jeweils die Summe der in U liegenden Basisvektoren mit
> einem (bliebigen) Basisvektor, der nicht in U liegt.
> Die entstehenden Basisvektoren legenalle ncih in U
Hallo,
was natürlich zu zeigen ist.
> und
> damit ist die Existenz einer Basis gezeigt.
Auch die lineare Unabhängigkeit wäre noch nachzuweisen.
> Ich brauche ja keine konkrete Basis und wozu brauche ich
> eigentlich den Basisergänzungssatz?
Wenn Du es so aufzäumst, wie leduart vorschlägt, braucht Du ihn nicht.
Gruß v. Angela
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Meine Freude über einen gelungenen Beweis ist ein wenig getrübt.
> > einem (bliebigen) Basisvektor, der nicht in U liegt.
> > Die entstehenden Basisvektoren liegen alle nicht in U
>
> was natürlich zu zeigen ist.
Eine Addition zweier Vektoren ist doch eine Art Spezialfall der Linearkombination, wobei ein Vektor per Definitionem nicht zu U gehört. Was muss man denn da noch zeigen? Die Summe kann nicht zu U gehören.
> > damit ist die Existenz einer Basis gezeigt.
>
> Auch die lineare Unabhängigkeit wäre noch nachzuweisen.
Wenn die Basisvektoren, die in U liegen per se lin. unabh. sind, werden die Summenvektoren nicht abhängig, oder wie könnte das passieren?
> > Ich brauche ja keine konkrete Basis und wozu brauche ich
> > eigentlich den Basisergänzungssatz?
>
> Wenn Du es so aufzäumst, wie leduart vorschlägt, braucht Du
> ihn nicht.
würde mich ja doch interessieren, wie das mit dem Satz geht.
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> Meine Freude über einen gelungenen Beweis ist ein wenig
> getrübt.
Hallo,
kennst Du diese Eintrübungen nicht mehr aus Studientagen?
> > > einem (bliebigen) Basisvektor, der nicht in U liegt.
> > > Die entstehenden Basisvektoren liegen alle nicht in
> U
> >
> > was natürlich zu zeigen ist.
>
> Eine Addition zweier Vektoren ist doch eine Art Spezialfall
> der Linearkombination, wobei ein Vektor per Definitionem
> nicht zu U gehört. Was muss man denn da noch zeigen? Die
> Summe kann nicht zu U gehören.
Ja. An der Tatsache habe ich ja überhaupt keinen Zweifel.
Aber "die Summe kann nicht zu U gehören" überzeugt mich nicht.
Du hast also u [mm] \in [/mm] U und [mm] v\in [/mm] V \ U.
Angenommen, es wäre [mm] u+v\in [/mm] U.
Weil U ein VR ist, wäre [mm] (u+v)-u\in [/mm] U, und amit hat man eine Widerspruch.
Also ist [mm] u+v\not\in [/mm] U.
> > > damit ist die Existenz einer Basis gezeigt.
> >
> > Auch die lineare Unabhängigkeit wäre noch nachzuweisen.
>
> Wenn die Basisvektoren, die in U liegen per se lin. unabh.
> sind, werden die Summenvektoren nicht abhängig, oder wie
> könnte das passieren?
Es passiert so viel in der Welt... Die unglaublichsten Dinge...
Du mußt beweisen, daß sie nicht linear abhängig sind.
Schau Dir eine Linearkombination an, die Null ergibt und mache glaubhaft, daß das nur für die triviale Linearkombination passieren kann.
Mir ist aber noch etwas anderes aufgefallen, was ich heute morgen noch gar nicht gesehen hatte: welches ist denn nun eigentlich diese Basis von V (!) mit den besonderen Eigenschaften, die Du suchst? Bzw. wie bekommst Du die. Bisher hast Du einen Vektor aus V \ U zu den Basisvektoren von U addiert und eine linear unabhängige Teilmenge von k Vektoren erhalten. Und dann?
Wenn ich nichts übersehen habe, steht das noch nirgendwo, was dann passieren soll. (Ich meine, daß man hier den Basisaustauschsatz braucht.)
Aber vielleicht habe ich ja auch etwas übersehen, und es ist doch schon alles fertig.
> > > Ich brauche ja keine konkrete Basis und wozu brauche ich
> > > eigentlich den Basisergänzungssatz?
> >
> > Wenn Du es so aufzäumst, wie leduart vorschlägt, braucht Du
> > ihn nicht.
>
> würde mich ja doch interessieren, wie das mit dem Satz
> geht.
Ich hätte das so gemacht:
U hat eine Basis [mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_k).
[/mm]
Der Basisergänzungssatz sagt mir, daß ich sie durch Vektoren [mm] v_{k+1}, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] zu einer Basis von V ergänzen kann.
Jetzt genau wie zuvor eines der v, etwa [mm] v_n, [/mm] auf die Basis von U draufaddieren, zeigen, daß [mm] u_i [/mm] + [mm] v_n \not\in [/mm] V, und dann daß [mm] (u_1+v_n, [/mm] ..., [mm] u_k+v_n, v_{k+1}, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] linear unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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