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Beweis von einer Gleichung: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Di 29.03.2011
Autor: OpenEyess

Aufgabe
Zu zeigen: [mm] \wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n [/mm]
für alle n [mm] \ge [/mm] 3

Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?

        
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Di 29.03.2011
Autor: abakus


> Zu zeigen: [mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 3
>  Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?

Mit vollständiger Induktion (Induktionsanfang hier: n=3).
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:25 Di 29.03.2011
Autor: OpenEyess

Aufgabe
Induktionsanfang geht ja auch, ich weiß aber nicht, wie ich dann beim Induktionsschritt vorankommen werde..

Danke..

Bezug
                        
Bezug
Beweis von einer Gleichung: ausprobieren + vorrechnen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Di 29.03.2011
Autor: Roadrunner

Hallo!


Dann probiere es aus und rechne hier mal vor, wie weit Du kommst.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Di 29.03.2011
Autor: OpenEyess

Aufgabe
Induktionsschritt:
z.z.: [mm] \wurzel{n+1}*(n+1) \ge \wurzel{n+1}+(n+1) [/mm]

[mm] \wurzel{n+1}*(n+1) [/mm]
[mm] =n*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1} [/mm]
nach Induktionsvor. [mm] \ge (\wurzel{n}*n-\wurzel{n})*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1} [/mm]

ab hier kann ich nicht mehr weiterrechnen..

Bezug
                                        
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 29.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo OpenEyess,

> Induktionsschritt:
> z.z.: [mm]\wurzel{n+1}*(n+1) \ge \wurzel{n+1}+(n+1)[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n+1}*(n+1)[/mm]
> [mm]=n*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}[/mm]
> nach Induktionsvor. [mm]\ge (\wurzel{n}*n-\wurzel{n})*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}[/mm] [kopfkratz3]

Das besagt die IV doch nicht, sondern [mm]n\sqrt{n}\ge n+\sqrt{n}[/mm]

Hier kommst du allein mit der IV nicht aus, sondern musst auch das monotone Wachstum der Wurzelfkt. bzw. Wurzelfolge nutzen!

[mm](n+1)\sqrt{n+1}=n\red{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n+1}\ge n\red{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}[/mm] da [mm]\sqrt{}[/mm] mon. wachsend ist

Nun kannst du auf den ersten Summanden die IV anwenden, außerdem ist [mm]\sqrt{n}\ge 1[/mm]

Also ...

>
> ab hier kann ich nicht mehr weiterrechnen..

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Di 29.03.2011
Autor: OpenEyess

Danke! :) Ich habssss

Bezug
        
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 29.03.2011
Autor: fred97


> Zu zeigen: [mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 3
>  Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?

Ergänzend: Du kannst es auch so machen: setze x= [mm] \wurzel{n} [/mm] und betrachte die Ungleichung

         (*)       [mm] x^3 \ge x+x^2 [/mm]    (x>0)


Für x>0 ist (*) gleichbedeutend mit:   [mm] x^2 \ge [/mm] 1+x.

Nun betrachte die Parabel $p(x)= [mm] x^2 [/mm] - 1-x.$. Berechne deren Nullstellen. Dann siehst Du:

            für x [mm] \ge \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm]  ist p(x) [mm] \ge [/mm] 0.

Ist dann n [mm] \ge [/mm] 3, so ist [mm] \wurzel{n} \ge \wurzel{3} \ge \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm]  und somit gilt


[mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Beweis von einer Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Di 29.03.2011
Autor: emil


Bezug
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