Beweis von differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 26.06.2016 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Sei f,g : [mm] \IR^{d} \to \IR^{m} [/mm] differenzierbare Funktionen
Beweisen sie, dass h(x):= [mm] g(x)^{T}f(x), [/mm] h: [mm] \IR^{d} \to \IR [/mm] auch differenzierbar ist und [mm] h^{'}:= f^{T}(x)g^{'}(x)+g^{T}(x)f^{'}(x) [/mm] gilt |
[mm] (g(x)^{T}f(x))^{'}=(\bruch{\partial(f*g)(x)}{x_{1}}, \bruch{\partial(f*g)(x)}{x_{2}},... \bruch{\partial(f*g)(x)}{x_{n}})
[/mm]
[mm] =(f\bruch{\partial g(x)}{x_{1}}+g\bruch{\partial f(x)}{x_{1}},....f\bruch{\partial g(x)}{x_{n}}+g\bruch{\partial f(x)}{x_{1}})
[/mm]
[mm] =f*g^{'}+gf^{'}
[/mm]
So würde ich zeigen dass die Ableitung [mm] h^{'} [/mm] sich so ergeben würde. Meine Frage wäre wie muss ich das [mm] f^{T},g^{T} [/mm] reinbringen?
Dann bräuchte ich ein Ansatz wie ich zeige, dass h(x) überhaupt differenzierbar ist.
Ich war am überlegen ob man das mit dem differenzenquotient vorgehen sollte, aber bin mir nicht sicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Mo 27.06.2016 | | Autor: | hippias |
Lars, Du hast Deine Rechnung sehr fehlerhaft aufgeschrieben: da musst Du vieles verbessern.
Es handelt sich bei [mm] $g^{T}f$ [/mm] um ein Matrixprodukt. Überlege Dir anhand der Definition, was da herauskommt. Das ist eine sehr häufig benutzte Schreibweise für das Skalarprodukt.
Ja, zeige die Differenzierbarkeit, indem Du die Definition benutzt, und natürlich eventuell bereits bekannte Sätze.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 Mo 27.06.2016 | | Autor: | Lars.P |
okay, ich seh es auch gerade. Hab irgendwie in die falsche Richtung gedacht.
Bei [mm] f(x)g^{T}= f_{1}(x)*g_{1}(x)+f_{2}(x)g_{2}(x)+_+f_{m}(x)g_{m}(x)
[/mm]
Das ableiten wäre ja [mm] (f(x)g^{T})^_{'} [/mm] = [mm] f^{'}_{1}(x)*g_{1}(x)+g^{'}_{1}(x)*f_{1}(x)+f^{'}_{2}(x)*g_{2}(x)+g^{'}_{2}(x)*f_{2}(x)+_+...
[/mm]
dann könnte man ja die Ableitungen ausklammern und hätte
[mm] f^{'}(x)*g(x)+g^{'}(x)*f(x)
[/mm]
Da würde ja noch das ^T fehlen. Muss das ^T einmal bei g und einmal bei f stehen oder könnte es nicht auch beides mal bei g stehen?
Und zu Diff'bar. Ich weiß dass die Summe und Multiplikation zweier Diff'baren funktionen wieder Diff'bar ist. Würde das nicht als Erklärung reichen? Ist dieser Satz ein bestimmter Satz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 29.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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