Beweis von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie durch Ausrechnen, dass für Vektoren der Dimension 2 tatsächlich|
[mm] (x,y)\le||x||*||y|| [/mm] ist.
Wann gilt |(x,y)|=||x||*||y||
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Hallo, nehme im moment an einem Vorkurs Mathe für Anwender an der Uni teil. Beweise jedoch habe ich nie zu schulzeiten praktiziert, deswegen meine Frage an euch, gilt diese Aussage nur wenn x,y<0 sind? wenn ja, wie stelle ich dann den Beweis mathematisch dar?
viele grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie durch Ausrechnen, dass für Vektoren der
> Dimension 2 tatsächlich|
> [mm](x,y)\le||x||*||y||[/mm] ist.
> Wann gilt |(x,y)|=||x||*||y||
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> Hallo, nehme im moment an einem Vorkurs Mathe für Anwender
> an der Uni teil. Beweise jedoch habe ich nie zu schulzeiten
> praktiziert, deswegen meine Frage an euch, gilt diese
> Aussage nur wenn x,y<0 sind? wenn ja, wie stelle ich dann
> den Beweis mathematisch dar?
Hallo,
ich vermute ganz stark, daß Ihr die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für x,y [mm] \in \IR^2 [/mm] beweisen sollt.
Sie lautet |<x,y>| [mm] \le \parallel x\parallel* \parallel y\parallel.
[/mm]
Jetzt müssen wir uns über die "Zutatenliste" klarwerden.
x und y sind zwei Vektoren, <x,y> ihr Skalarprodukt, und [mm] \parallel x\parallel [/mm] und [mm] \parallel y\parallel [/mm] sind jeweils die Betrage dieser Vektoren.
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Wenn man nicht genau weiß, was zu tun ist, hilft oft ein konkretes Beispiel.
Nehmen wir mal [mm] x:=\vektor{-3 \\ 4}, y=\vektor{5 \\ -12}.
[/mm]
[mm] |<\vektor{-3 \\ 4}, \vektor{5 \\ -12}>|= [/mm] |-3*5+4*(-12)|= |-63|=63.
Nun berechnen wir zum Vergleich
[mm] \parallel\vektor{-3 \\ 4}\parallel* \parallel \vektor{5 \\ -12}\parallel= \wurzel{(-3)^2+4^2}*\wurzel{5^2+(-12)^2}=5*13=65.
[/mm]
Für diese Beispiel stimmt die Aussage schonmal. (Das hat natürlich keinerlei Beweiskraft!)
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Du sollst das nun allgemein beweisen.
Def. [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] , [mm] y:=\vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] mit [mm] x_1, x_2, y_1, y_2 \in \IR.
[/mm]
Zu zeigen ist dann:
[mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>| \le \parallel\vektor{x_1 \\ x_2}\parallel* \parallel\vektor{y_1 \\ y_2}\parallel.
[/mm]
Du hast ja oben gesehen, daß man mit Wurzeln umherwurschteln muß. Um das zu umgehen, kann man lieber versuchen,
das Quadrat der Aussage zu beweisen, und am Ende die Wurzel ziehen, was unproblematisch ist, weil man auf beiden Seiten nichtnegative Zahlen hat.
Also solltest Du Dich über [mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|^2 \le \parallel\vektor{x_1 \\ x_2}\parallel^2* \parallel\vektor{y_1 \\ y_2}\parallel^2 [/mm] hermachen.
Wie geht das nun?
Du startest mit [mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>| [/mm] ^2 = ... und versuchst das dann zielstrebig abzuschätzen.
___
Ich verlasse Dich vorerst an dieser Stelle, weil ich den Eindruck hatte, daß Deine Frage weniger den Details der Rechnung galt, als dem prinzipiellen Verständnis.
Es ist ja oft sehr ungewohnt, wenn sich hinter x plötzlich Vektoren verbergen.
Bei Fragen: fragen.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | $ [mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>| [/mm] $ ^2 = |
danke für deine schnelle antwort, also das ergebnis daraus wäre ja, [mm] |x1^2+x2^2*y1^2+y2^2|
[/mm]
soll ich dort jetzt einfach mal zahlen einsetzen um nachher anzugeben bei bzw ab welchen zahelen Element von R diese Aussage stimmt ??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weststideitaly!
Zum einen musst Du das schon allgemein beweisen (sprich: nicht durch Zahleneinsetzen).
> [mm]|<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|[/mm] ^2 =
> danke für deine schnelle antwort, also das ergebnis daraus
> wäre ja, [mm]|x1^2+x2^2*y1^2+y2^2|[/mm]
Was hast Du denn da gerechnet? Du musst doch zunächst das  Skalarpodukt ermitteln:
[mm] $$\left\|\left<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}\right>\right\|^2 [/mm] \ = \ [mm] \left\|x_1*y_1+x_2*y_2\right\|^2 [/mm] \ = \ ...$$
Dies musst du dann ale gesamte Ungleichung mit $... \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left\|\vektor{x_1 \\ x_2}\right\|^2*\left\|\vektor{y_1 \\ y_2}\right\|^2$ [/mm] setzen und anschließend umformen.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | [mm] |x1*y1+x2*y2|^2 [/mm] (kleiner gleich) $ [mm] ||<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|| [/mm] $ |
Hallo Loddar, ja hab gerade gesehn dass ichmich dort vertan hatte,sorry..
also habe diese Ungleichung wie folgt aufgestellt:
[mm] |x1*y1+x2*y2|^2 [/mm] (kleiner gleich) (Wurzel aus x1+x2*y1+y2 [mm] )^2
[/mm]
=> [mm] |x1*y1+x2*y2|^2 [/mm] (kleiner gleich) x1+x2*y1+y2
soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weststideitaly!
Also ich muss gestehen, da kann ich nicht folgen, was Du da gerechnet hast. Nun also mal langsam:
$$ [mm] \left\|\left<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}\right>\right\|^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left\|\vektor{x_1 \\ x_2}\right\|^2\cdot{}\left\|\vektor{y_1 \\ y_2}\right\|^2 [/mm] $$
[mm] $$\left\|x_1\cdot{}y_1+x_2\cdot{}y_2\right\|^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left( \ \wurzel{x_1^2+x_2^2} \ \right)^2*\left( \ \wurzel{y_1^2+y_2^2} \ \right)^2$$
[/mm]
[mm] $$x_1^2*y_1^2+2*x_1*x_2*y_1*y_2+x_2^2*y_2^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left(x_1^2+x_2^2\right)*\left(y_1^2+y_2^2\right)$$
[/mm]
Und nun weiter umformen ...
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | [mm] x1^2*y1^2+2*x1*y1*x2*y2+x2^2*y2^2 [/mm] (kleiner gleich) [mm] (x1^2+x2^2)*(y1^2+y2^2) [/mm] |
Hallo Loddar, habe nun weiter umgeformt und bin jetzt letzendlich auf diesesn Term gekommen:
2*x1*y1*x2*y2 (kleiner gleich) [mm] x1^2*y2^2+x2^2*y1^2
[/mm]
nur wie geht es jetzt weiter ??
viele grüße
Marcello
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> [mm]x1^2*y1^2+2*x1*y1*x2*y2+x2^2*y2^2[/mm] (kleiner gleich)
> [mm](x1^2+x2^2)*(y1^2+y2^2)[/mm]
> Hallo Loddar, habe nun weiter umgeformt und bin jetzt
> letzendlich auf diesesn Term gekommen:
>
> [mm] 2*x_1*y_1*x_2*y_2 \le[/mm] [mm]x_1^2*y_2^2+x_2^2*y_1^2[/mm]
Hallo,
obiges ist äquivalent zu
0 [mm] \le x_1^2*y_2^2 [/mm] - [mm] 2*x_1*y_1*x_2*y_2 [/mm] + [mm] x_2^2*y_1^2= (x_1y_2 [/mm] - [mm] x_2y_1)^2.
[/mm]
Dies ist mit Sicherheit eine wahre Aussage.
Insgesamt hast Du jetzt
$ [mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|^2 \le \parallel\vektor{x_1 \\ x_2}\parallel^2\cdot{} \parallel\vektor{y_1 \\ y_2}\parallel^2 [/mm] $
<==> 0 [mm] \le (x_1y_2 [/mm] - [mm] x_2y_1)^2,
[/mm]
und hiermit ist die Gültigkeit der Aussage bewiesen. Denn die untere Aussage ist wahr, und wenn die obere äquivalent ist, kann sie nicht anders als richtig sein.
Ich selbst finde allerdings diese Art von Beweis nicht sonderlich hübsch.
Ich würde es anders angehen: mit [mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|^2 [/mm] starten, das dann so umformen und abschätzen, daß man am Ende einer (Un-)Gleichungskette [mm] \parallel\vektor{x_1 \\ x_2}\parallel^2\cdot{} \parallel\vektor{y_1 \\ y_2}\parallel^2 [/mm] dastehen hat.
Ich will Dir das mal zeigen:
[mm] |<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>|^2 [/mm] =
... = [mm] x_1^2\cdot{}y_1^2+2\cdot{}x_1\cdot{}x_2\cdot{}y_1\cdot{}y_2+x_2^2\cdot{}y_2^2 [/mm]
[Achtung, jetzt kommt ein Witz!]
= [mm] x_1^2\cdot{}y_1^2+x_1^2y_2^2 [/mm] - [mm] x_1^2y_2^2+2\cdot{}x_1\cdot{}x_2\cdot{}y_1\cdot{}y_2-x_2^2y_1^2 +x_2^2y_1^2 +x_2^2\cdot{}y_2^2
[/mm]
[mm] =x_1^2\cdot{}y_1^2+x_1^2y_2^2 [/mm] - [mm] (x_1y_2 [/mm] - [mm] x_2y_1)^2 +x_2^2y_1^2 +x_2^2\cdot{}y_2^2
[/mm]
[mm] \le x_1^2\cdot{}y_1^2+x_1^2y_2^2 +x_2^2\cdot{}y_2^2
[/mm]
=...
[mm] =\parallel\vektor{x_1 \\ x_2}\parallel^2\cdot{} \parallel\vektor{y_1 \\ y_2}\parallel^2
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Mach' Dich bitte mit dem Formeleditor unterhalb des Eingabefensters vertraut. Es erhöht die Lesbarkeit ungemein, wenn Indizes und mathematische Zeichen verwendet werden.
Hier findest Du ein Testforum, wo Du alles in Ruhe ausprobieren kannst.
Du kannst (solltest) Dir vor dem Abschicken per Klick auf "Vorschau" anschauen, was erscheinen wird, so kannst Du noch ändern, was nicht in Deinem Sinne geraten ist.
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vielen dank für deine Antwort. jetzt habe ich es auch richtig verstanden :) endlich,
viele grüße
Marcello
P.S. tut mir leid, ich werde demnächst nur noch den Editor verwenden
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http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung#Beweis_f.C3.BCr_das_Skalarprodukt