Beweis von Ungleichungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 16.07.2009 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Let [mm] \xi_i [/mm] and [mm] \xi_j [/mm] be two standard normal random variables with covariance [mm] 1-2*\Delta^2 [/mm] (where [mm] \Delta \ge [/mm] 0). For all real numbers [mm] t_i, t_j [/mm] and [mm] \delta=\bruch{(t_j - t_i)}{2} [/mm] we have (for some constant C):
1. If [mm] t_j \le t_i, Pr(\xi_i \ge t_i [/mm] and [mm] \xi_j \le t_j) \le C*min(\bruch{\Delta^2}{|\delta|}, \Delta).
[/mm]
2. If [mm] t_j \ge t_i, Pr(\xi_i \ge t_i [/mm] and [mm] \xi_j \le t_j) \le C*(\Delta [/mm] + [mm] 2*\delta). [/mm] |
Ich verstehe den Anfang dieses Beweises (für 1.) einfach nicht:
Falls [mm] \Delta [/mm] = 0, klar
Falls [mm] \Delta \ge \bruch{1}{2}, [/mm] rechte Seite [mm] \Omega(1) [/mm] x [mm] min(\bruch{1}{|\delta|}, [/mm] 1).
Soweit noch klar, jetzt wirds unklar:
Let [mm] \xi [/mm] = [mm] \bruch{(\xi_i + \xi_j)}{2} [/mm] and [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{(\xi_i - \xi_j)}{2}.
[/mm]
Notice that [mm] Var[\xi] [/mm] = 1 - [mm] \Delta^2 [/mm] and [mm] Var[\beta] [/mm] = [mm] \Delta^2.
[/mm]
[mm] Pr(\xi_j \le t_j [/mm] and [mm] \xi_i \ge t_i) [/mm] = [mm] Pr(\beta \ge [/mm] | [mm] \xi [/mm] - [mm] \bruch{t_i + t_j}{2} [/mm] | + [mm] \bruch{t_i - t_j}{2})
[/mm]
Warum ist das so? Ich komme einfach nicht drauf, woher er diese Umformung nimmt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wauwau |
[mm] \xi_{j} \le t_{j} [/mm] (1)
Du weißt auch dass
[mm] \xi_{j} [/mm] = [mm] \xi [/mm] - [mm] \beta
[/mm]
und [mm] \xi_{i} [/mm] = [mm] \xi [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
und analog
[mm] t_{j} [/mm] = [mm] \bruch{t_{i}+t_{j}}{2}-\bruch{t_{i}-t_{j}}{2} [/mm] und
[mm] t_{i} [/mm] = [mm] \bruch{t_{i}+t_{j}}{2}+\bruch{t_{i}-t_{j}}{2}
[/mm]
aus (1) folgt daher
[mm] \xi [/mm] - [mm] \beta \le \bruch{t_{i}+t_{j}}{2}-\bruch{t_{i}-t_{j}}{2}
[/mm]
oder
[mm] \beta \ge \xi [/mm] - [mm] \bruch{t_{i}+t_{j}}{2}+\bruch{t_{i}-t_{j}}{2} [/mm] (2)
analoge Überlegungen für
[mm] \xi_{i} \ge t_{i}
[/mm]
führen zu
[mm] \beta \ge -\xi [/mm] + [mm] \bruch{t_{i}+t_{j}}{2}+\bruch{t_{i}-t_{j}}{2} [/mm] (3)
(2) und (3) zusammengefasst ergibt die Umformung...
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