Beweis von Surjektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mi 16.02.2011 | | Autor: | moody |
Guten abend,
im Rahmen meiner Klausurvorbereitung bin ich darauf gestossen, dass wir keinen konkreten Beweis für die Surjektivität einer Funktion in unserer Vorlesung behandelt haben.
Ich weiss dass für jedes x ein y existieren muss und umgekehrt wenn eine Funktion surjektiv ist.
Und reicht das bilden einer Umkehrfunktion aus um Bijektivität zu beweisen?
In unserer Vorlesung steht "Bijektive Abbildungen haben eine Umkehrabbildung" für injektive oder surjektive Funktionen haben wir das nicht benannt aber bei meiner Suche nach einem Beweis für Surjektivität bin ich darauf gestoßen dass diese Funktionen ebenfalls bedingt umkehrbar sind.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mi 16.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie du es schreibst ist surj falsch verstanden.
erstens: du musst die Definitionsmenge und die Zielmenge angeben.
Beispiel Def.Menge [mm] \IR, [/mm] Zielmenge [mm] \IR f(x)=x^2 [/mm] ist nicht surjektiv
dieselbe Def.Menge aber Zielmenge [mm] \IR^+ [/mm] die fkt ist surjektiv.
eine fkt ist bijektiv, wenn sie surj. und inj. ist. Wenn sie eine eindeutige Umkehrfkt hat ist das der Fall.
ich find, die 3 Begriffe sind in wiki gut erklärt, sieh es dir dort nochmal an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 16.02.2011 | | Autor: | moody |
Schonmal danke für die schnelle Antwort.
> Beispiel Def.Menge [mm]\IR,[/mm] Zielmenge [mm]\IR f(x)=x^2[/mm] ist nicht
> surjektiv
> dieselbe Def.Menge aber Zielmenge [mm]\IR^+[/mm] die fkt ist
> surjektiv.
Aber für $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] existiert doch zu jedem Bild mindestens ein Urbild?
> eine fkt ist bijektiv, wenn sie surj. und inj. ist. Wenn
> sie eine eindeutige Umkehrfkt hat ist das der Fall.
> ich find, die 3 Begriffe sind in wiki gut erklärt, sieh
> es dir dort nochmal an.
Ich frage mich in diesem Zusammenhang aber vor allem wie man Surjektivität beweisen soll?
Injektivität ist klar x [mm] \not= [/mm] y => f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) oder f(x) = f(y) => x = y
Bijektivität würde ich über eine eindeutige Umkehrfunktion beweisen oder falls ich wüsste wie über Surjektivität + Injektivität.
Oder könnte man auch beweisen dass eine Funktion nicht injektiv ist ( und somit auch nicht bijektiv ) und daraus folgt dann dass sie surjektiv sein muss?
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schonmal danke für die schnelle Antwort.
>
> > Beispiel Def.Menge [mm]\IR,[/mm] Zielmenge [mm]\IR f(x)=x^2[/mm] ist nicht
> > surjektiv
> > dieselbe Def.Menge aber Zielmenge [mm]\IR^+[/mm] die fkt ist
> > surjektiv.
> Aber für [mm]f(x) = x^2[/mm] existiert doch zu jedem Bild
> mindestens ein Urbild?
das kommt drauf an, worauf Du Dich beziehst. Schreiben wir es mal genauer:
Ist $f : [mm] \green{\IR} \to \blue{\IR}$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$), [/mm] so ist [mm] $f\,$ [/mm] NICHT surjektiv. Andernfalls gäbe es ja zu jedem $y [mm] \in \blue{\IR}$ [/mm] (mindestens) ein $x [mm] \in \green{\IR}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2=y\,.$ [/mm] Dann müsste es aber insbesondere auch zu $-1 [mm] \in \blue{\IR}$ [/mm] ein $x [mm] \in \green{\IR}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2=-1$ [/mm] geben. Dies widerspricht aber der Tatsache, dass [mm] $r^2 \ge [/mm] 0$ für alle $r [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Für $g : [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] gegeben durch [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] gilt allerdings, dass [mm] $g\,$ [/mm] surjektiv ist. Dies kann man auch nachrechnen, weil man zu (jedem beliebig vor-) gegebenem $y [mm] \in \IR_{ \ge 0}$ [/mm] definieren kann [mm] $x:=\sqrt{y}$ [/mm] (weil $y [mm] \in \IR$ [/mm] MIT $y [mm] \ge [/mm] 0$), und dann [mm] $f(x)=x^2=(\sqrt{y})^2=y$ [/mm] folgt.
> > eine fkt ist bijektiv, wenn sie surj. und inj. ist.
> Wenn
> > sie eine eindeutige Umkehrfkt hat ist das der Fall.
Bei dieser Formulierung frage ich mich, was eine uneindeutige Umkehrfunktion sein soll...
> > ich find, die 3 Begriffe sind in wiki gut erklärt,
> sieh
> > es dir dort nochmal an.
> Ich frage mich in diesem Zusammenhang aber vor allem wie
> man Surjektivität beweisen soll?
>
> Injektivität ist klar x [mm]\not=[/mm] y => f(x) [mm]\not=[/mm] f(y) oder
> f(x) = f(y) => x = y
>
> Bijektivität würde ich über eine eindeutige
> Umkehrfunktion beweisen oder falls ich wüsste wie über
> Surjektivität + Injektivität.
Also zunächst: Eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie eine Umkehrfunktion hat - und diese ist dann eindeutig bestimmt, denn andernfalls würde es keinen Sinn machen, von DER Umkehrfunktion zu sprechen.
Es gibt folgende Sätze, die Beziehungen zwischen Injektivität und Surjektivität herstellen:
1.) Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ injektiv, wenn es eine surjektive Abbildung [mm] $\tilde{f}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ gibt.
2.) Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ surjektiv, wenn es eine injektive Abbildung [mm] $\tilde{f}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ gibt.
(Edit: Natürlich war das grober Käse, den ich da erzählt habe. Bitte schnellstens wieder vergessen!!!)
Ebenso gelten etwa:
Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ injektiv, wenn es eine Abbildung [mm] $\tilde{f}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ so gibt, dass
[mm] $$\tilde{f}\circ f=\text{id}_M\,.$$
[/mm]
Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ surjektiv, wenn es eine Abbildung [mm] $\tilde{f}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ so gibt, dass
$$f [mm] \circ \tilde{f}=\text{id}_N\,.$$
[/mm]
Es folgt:
Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ bijektiv, wenn eine (und damit auch beide) der beiden folgenden Bedingungen gilt:
a) $f: M [mm] \to [/mm] N$ ist injektiv und es existiert eine injektive Abbildung $N [mm] \to [/mm] M$.
b) $f: M [mm] \to [/mm] N$ ist surjektiv und es existiert eine surjektive Abbildung $N [mm] \to [/mm] M$.
(Edit: Grober Käse von mir, bitte wieder vergessen; s.o.!)
Oder:
Genau dann ist $f: M [mm] \to [/mm] N$ bijektiv, wenn es eine Abbildung [mm] $\tilde{f}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ so gibt, dass sowohl $f [mm] \circ \tilde{f}=\text{id}_N$ [/mm] (d.h. [mm] $f\,$ [/mm] ist surjektiv) und auch [mm] $\tilde{f} \circ f=\text{id}_M$ [/mm] (d.h. [mm] $f\,$ [/mm] ist injektiv) gilt.
(Analog besagt $f [mm] \circ \tilde{f}=\text{id}_N$ [/mm] die Injektivität von [mm] $\tilde{f}$ [/mm] und [mm] $\tilde{f} \circ f=\text{id}_M$ [/mm] die Surjektivität von [mm] $\tilde{f}\,.$)
[/mm]
Insbesondere ist hier [mm] $\tilde{f}$ [/mm] DIE Umkehrfunktion von [mm] $f\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist.
(Beachte: Für gegebenes, injektives $f: M [mm] \to [/mm] N$ kann man durchaus auch ein [mm] $\phi: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ angeben mit [mm] $\phi \circ f=\text{id}_M\,,$ [/mm] ohne dass [mm] $\phi$ [/mm] DIE Umkehrfunktion ist. Betrachte etwa [mm] $f:\{1,2\} \to \{3,4,5\}$ [/mm] mit [mm] $f(1)=3\,$ [/mm] und [mm] $f(2)=4\,,$ [/mm] und [mm] $\phi_1, \phi_2: \{3,4,5\} \to \{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $\phi_1(3)=\phi_2(3)=1$ [/mm] und [mm] $\phi_1(4)=\phi_2(4)=2$ [/mm] und [mm] $\phi_1(5)=1$ [/mm] und [mm] $\phi_2(5)=2\,.$)
[/mm]
> Oder könnte man auch beweisen dass eine Funktion nicht
> injektiv ist ( und somit auch nicht bijektiv ) und daraus
> folgt dann dass sie surjektiv sein muss?
Nein. Es gibt nicht injektive Funktionen, die surjektiv sind. Etwa obiges [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR_{\ge 0}\,.$
[/mm]
(Trotz $-1 [mm] \not=1$ [/mm] ist [mm] $g(-1)=(-1)^2=1=1^2=g(1)\,.$)
[/mm]
So, nun nochmal zurück zur eigentlichen Frage:
Die Surjektivität einer Funktion kannst Du halt per Definitionem nachrechnen, oder Du benutzt einen der obigen Sätze.
Z.B. kann man durchaus auch sagen, dass $g : [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] gegeben durch [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] surjektiv ist mit folgender Begründung:
Setzen wir [mm] $\tilde{g}: \IR_{\ge 0} \to \IR$ [/mm] durch [mm] $\tilde{g}(y):=\sqrt{y}$ [/mm] ($y [mm] \in \IR_{\ge 0}$) [/mm] fest, so gilt für alle $y [mm] \in \IR_{\ge 0}$
[/mm]
$$(g [mm] \circ \tilde{g})(y)=g(\tilde{g}(y))=(\sqrt{y})^2=y=\id_{\IR_{\ge 0}}(y)\,,$$
[/mm]
also
$$g [mm] \circ \tilde{g}=\text{id}_{\IR_{\ge 0}}\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Man [/mm] hätte aber genausogut [mm] $\tilde{g}: \IR_{\ge 0} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\tilde{g}(y)=-\sqrt{y}$ [/mm] hernehmen können, oder, noch wüster:
[mm] $$\tilde{g}(y):=(-1)^k*\sqrt{y}\,, \text{ wenn }y \in [k-1,\;k[ \text{ mit einem }k \in \IN_{\ge 1}\,.\text{)}$$
[/mm]
Allgemein:
Es gibt durchaus Sätze für Funktionen $M [mm] \to [/mm] N$ mit $M,N [mm] \subseteq \IR\,,$ [/mm] die schon Aussagen treffen. Z.B. bei stetigen Funktionen weiß man was, (streng) monotone Funktionen sind "meist einfach(er)" zu untersuchen etc..
Ansonsten musst Du Dir halt überlegen, ob die Abbildungsbeschreibung (inklusive Definitions- und Zielbereichs) etwas surjektives liefert. Bei mehrdimensionalen Funktionen kommt man solche Aussagen manchmal halt durch Aufstellen eines GLS auf einfachere Untersuchungen reduzieren. Manchmal ist es aber auch "offensichtlich":
Z.B. ist [mm] $f(x,y):=(x^5+3x^2-7, e^y)$ [/mm] sicher nicht surjektiv als Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR \times [0,\infty[\,,$ [/mm] denn es ist [mm] $e^x [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm]
Konkreter können wir uns das so überlegen:
Annahme: [mm] $f\,$ [/mm] ist surjektiv, dann gäbe es zu $(1,0) [mm] \in \IR \times [0,\infty[$ [/mm] ein $(x,y) [mm] \in \IR^2=\IR \times \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=(x^5+3x^2-7,e^y)=(1,0)\,.$ [/mm] Insbesondere müßte es also ein $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $e^y=0$ [/mm] geben. Widerspruch.
P.S.
Durchforsche doch ruhig mal das Forum nach Aufgaben und Beispielen. Ich habe vor relativ langer Zeit auch mal etliche (lange) Antworten dazu geschrieben... aber mir ist's nun zu aufwändig, das neu zu schreiben und zum Suchen bin ich zu faul. 
Gruß,
Marcel
Edit: Man beachte die Korrekturen.
P.P.S. Die durchgestrichenen Sätze gibt es in ähnlicher Variante, um "die Größe von Mengen miteinenander zu vergleichen". Ich bin da gestern irgendwie durcheinander gekommen. Bspw. kann man sich aber für endliche Mengen $M,N$ klarmachen:
$$|M| [mm] \le [/mm] |N|$$
genau dann, wenn es eine Injektion $M [mm] \to [/mm] N$ gibt, bzw. äquivalent dazu: Wenn es eine Surjektion $N [mm] \to [/mm] M$ gibt.
DANKE AN ROBERT FÜR DEN HINWEIS!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Mi 16.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Hallo Marcel,
> Es gibt folgende Sätze, die Beziehungen zwischen
> Injektivität und Surjektivität herstellen:
> 1.) Genau dann ist [mm]f: M \to N[/mm] injektiv, wenn es eine
> surjektive Abbildung [mm]\tilde{f}: N \to M[/mm] gibt.
>
> 2.) Genau dann ist [mm]f: M \to N[/mm] surjektiv, wenn es eine
> injektive Abbildung [mm]\tilde{f}: N \to M[/mm] gibt.
Das solltest du nochmal prüfen.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 17.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Hallo Marcel,
> > Es gibt folgende Sätze, die Beziehungen zwischen
> > Injektivität und Surjektivität herstellen:
> > 1.) Genau dann ist [mm]f: M \to N[/mm] injektiv, wenn es eine
> > surjektive Abbildung [mm]\tilde{f}: N \to M[/mm] gibt.
> >
> > 2.) Genau dann ist [mm]f: M \to N[/mm] surjektiv, wenn es eine
> > injektive Abbildung [mm]\tilde{f}: N \to M[/mm] gibt.
> Das solltest du nochmal prüfen.
>
> Gruß, Robert
autsch. Da war ich mit Mengenvergleichen durcheinander gekommen. Das ist natürlich grober Unfug. (Zumal [mm] $\tilde{f}$ [/mm] in keinem wirklichen Zusammenhang mit [mm] $f\,$ [/mm] steht.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 17.02.2011 | | Autor: | moody |
Guten abend,
wirklich vielen lieben Dank für die äusserst ausführliche Erklärung. Ich habe mir den großteil auch mal direkt in meine Formelsammlung übernommen und das Beispiel mit $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] hat auf jeden Fall mein Verständnis deutlich verbessert, ich hätte so eine Funktion wenn sie nicht nur in den positiven Bereich abbildet auch als surjektiv angenommen.
Wobei ich mir hier noch Frage
> Nein. Es gibt nicht injektive Funktionen, die surjektiv sind.
ob es nicht genau das ist was gesagt habe.
Nicht injektiv ^ nicht bijektiv -> Surjektiv
lg moody
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 17.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo moody,
bitte beachte die korrigierte Version. Die nun durchgestrichenen Sätze, die ich formuliert hatte, waren Unsinn meinerseits, den Du bitte schnellstens wieder vergessen solltest.
> Guten abend,
>
> wirklich vielen lieben Dank für die äusserst
> ausführliche Erklärung. Ich habe mir den großteil auch
> mal direkt in meine Formelsammlung übernommen und das
> Beispiel mit [mm]f(x) = x^2[/mm] hat auf jeden Fall mein
> Verständnis deutlich verbessert, ich hätte so eine
> Funktion wenn sie nicht nur in den positiven Bereich
> abbildet auch als surjektiv angenommen.
>
> Wobei ich mir hier noch Frage
>
> > Nein. Es gibt nicht injektive Funktionen, die surjektiv
> sind.
>
> ob es nicht genau das ist was gesagt habe.
>
> Nicht injektiv ^ nicht bijektiv -> Surjektiv
Naja, da bin ich nochmal durcheinander gekommen. Also nochmal:
Es gibt durchaus auch nicht injektive Abbildungen, die nicht surjektiv sind. Übrigens ist jede Abbildung, die nicht injektiv oder nicht surjektiv ist (d.h. sie kann auch weder injektiv noch surjektiv sein, denn das mathematische "oder" beinhaltet das "und", und "weder injektiv noch surjektiv" ist nur eine Umformulierung von nicht injektiv und nicht surjektiv), mit Sicherheit nicht bijektiv.
Rein logisch:
Bijektiv bedeutet: Injektiv UND Surjektiv
Daher bedeutet
NICHT bijektiv: (nicht injektiv) ODER (nicht surjektiv).
Das obige $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht injektiv (und damit schon nicht bijektiv), aber auch nicht surjektiv.
$g: [mm] \IR \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $g(x)=|x|\,$ [/mm] ist surjektiv, aber, weil nicht injektiv, auch nicht bijektiv.
$h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x)=e^x$ [/mm] ist zwar injektiv, nicht aber surjektiv; also auch nicht bijektiv.
$k: [mm] \IR_{> 0} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $k(x)=\ln(x)$ [/mm] ist surjektiv und injektiv, also bijektiv.
Also nochmal: Wenn wir, bzgl. einer fest vorgegebenen Funktion [mm] $p\,$, [/mm] in einem Paar [mm] $(x,y)_p$ ($p\,$ [/mm] ist der "Parameter, der die Funktion angibt, die wir betrachten") in der ersten Komponente (also an Stelle von [mm] $x\,$) [/mm] eine [mm] $1\,$ [/mm] reinschreiben, wenn die Funktion injektiv ist, andernfalls [mm] $0\,,$ [/mm] und an der zweiten Stelle (also für [mm] $y\,$) [/mm] eine [mm] $1\,$ [/mm] reinschreiben, wenn die Funktion surjektiv ist - und [mm] $0\,,$ [/mm] wenn nicht surjektiv - so gilt für obige Funktionen
[mm] $$(0,0)_f\,,$$ [/mm]
[mm] $$(0,1)_g\,,$$
[/mm]
[mm] $$(1,0)_h\,,$$
[/mm]
[mm] $$(1,1)_k\,.$$
[/mm]
Du siehst also: Alle Fälle kommen vor. Aber per Definition kennzeichnen nur die "$(1,1)$-Fälle" bijektive Funktionen:
$$f,g,h$$
sind also alle nicht bijektiv, aber
[mm] $$k\,$$
[/mm]
ist bijektiv.
(Du siehst aber: Alle "Injektiv-Surjektiv-Kombinationen" sind denkbar.)
Gruß,
Marcel
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