Beweis von Primzahl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen, ich sitze hier an der Aufgabe. Kann mir bitte jemand bei der Lösung helfen?
Sei m [mm] \in \IN [/mm] * = {1,2,3,...} und n [mm] \in \IN [/mm] . Man definiert:
m | n : [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n=km.
In diesem Fall sagt man "m teilt n" oder "m ist Teiler von n".
Man beweise für p [mm] \in \IN [/mm] , p > 1 :
p ist genau dann eine Primzahl, wenn für je zwei Zahlen m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
p | mn [mm] \Rightarrow [/mm] p | m oder p | n.
Danke schonmal im Voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 31.10.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo kleine-Elfe
Vielleicht solltest du die Tatsache verwenden, dass sich jede Zahl eindeutig als Produkt
von Primzahlen schreiben lässt.
Dann sollte es nicht so schwer sein.
mgG Moudi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Di 31.10.2006 | | Autor: | peter_d |
Ich habe auch diese Frage und komme auch nicht weiter 
Vllt könntest du ja deinen Tipp mal etwas näher erläutern. DAnke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 02.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Peter
Wenn eine Primzahl p die Zahl a teilt und sich a eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben lässt, so muss p in diesem Primzahlprodukt als Faktor auftauchen.
Denn p teilt a heisst, [mm] $\exists [/mm] k$ so dass [mm] $a=p\cdot [/mm] k$, und da sich k als Prodkukt von Primzahlen schreiben lässt [mm] $k=p_1\cdot\dots\cdot p_l$ [/mm] gilt [mm] $a=p\cdot p_1\cdot\dots\cdot p_l$. [/mm] Wegen der Eindeutigkeit der Primzahldarstellung taucht daher p in der Primfaktorzerlegung von a auf.
Teilt p die Zahl [mm] $m\cdot [/mm] n$, so taucht p in der Primfaktorzerlegung von [mm] $m\cdot [/mm] n$ auf.
Andrerseits lässt sich aus den Primfaktorzerlegungen von m und n eine Primfaktorzerlegung von [mm] $m\cdot [/mm] n$ herstellen. Wiederum muss dann wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung p in der Primfaktorzerlegung von m oder in der Primfaktorzerlegung von n auftauchen.
Daher habe ich bewiesen: Wenn p eine Primzahl ist, so folgt aus p|mn [mm] $\Rightarrow$ [/mm] p|m oder p|n.
Ist umgekehrt p keine Primzahl, dass heisst [mm] $p=m\cdot [/mm] n$ mit m,n>1, dann teilt p das Produkt [mm] $n\cdot [/mm] n$ aber p teilt keine der Zahlen m und n.
mfG Moudi
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