Beweis von Ordnungsrelationen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:47 So 23.10.2011 | | Autor: | dramaturk |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgende Aussage:
Sei [mm] <_M [/mm] eine strikte Ordnungsrelation auf einer Menge M. Dann wird durch [mm] a \le_M b [/mm] a [mm] <_M [/mm] b oder a = b
eine teilweise Ordnung [mm] \le_M [/mm] auf M definiert. |
Def. strikte Ordnung: asymmetrisch und transitiv.
Def. teilweise Ordnung: asymmetrisch, transitiv, reflexiv
es folgen die Def. für die einzelnen Relationen:
(1) asymmetrisch: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R => (b,a) [mm] \not\in [/mm] R , d.h. aRb und bRa
(2) transitiv: [mm] \forall [/mm] (a,b,c) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R => (a,c) [mm] \in [/mm] R
(3) reflexiv: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M : (a,b) [mm] \in [/mm] R
Zu zeigen: [mm] \le [/mm] ist eine teilweise Ordnung auf M
Es gilt also Asymmetrie, Transivität und Reflexivität zu beweisen:
Asymmetrie: Beweis durch Widerspruch
zu zeigen: a < b und [mm] \neg [/mm] (b < a)
Annahme: a < b und b < a
a-b < 0 und b-a < 0
=> (a-b) + (b-a) < 0
= 0 < 0 (Widerspruch!)
Transitivität: zu zeigen: wenn a < b und b < c => a < c
a-b < 0 und b-c < 0
=> (a-b)+(b-c) < 0
= a-b + b-c < 0
= a - c < 0 q.e.d.
Reflexivität: zu zeigen: a = b
Bei der Reflexivität bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses beweisen soll. Hier wäre ein Tipp oder Denkansatz sehr nett von euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. lg, Mirco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 23.10.2011 | | Autor: | mmhkt |
Hallo dramaturk,
Du hast diese Frage zweimal eingestellt.
Was möglicherweise versehentlich passiert ist - am ersten Tag kann das schon mal vorkommen.
Unter dem grauen Eingabefeld (für Frage oder Antwort) findet sich ein Hinweis auf die Forenregeln, dort steht unter Nummer 4 etwas zu "Doppelposts und Hinweise auf Crossposts".
Der Rest ist auch nicht uninteressant.
Schönen Restsonntag
mmhkt
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