Beweis von Gesetzen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 04.11.2015 | | Autor: | chris22 |
| Aufgabe | Bweisen sie für A,B,C [mm] \subseteq [/mm] G mit G ist Grundmenge:
a) Wenn A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] C, dann folgt A [mm] \subseteq [/mm] C (Transivitätsgesetz)
b) (A [mm] \cap [/mm] B) \ C= [mm] (A\C) \cap (B\C) [/mm] (Distributivgesetz für Differenzmengen) |
Hallo,
um ehrlich zu sein: keine Ahnung wie ich hier rangehen soll.
Ich verstehe zwar die Aussagen, jedoch weiß ich nicht wie ich diese Beweisen soll.
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Hallo chris22,
> Bweisen sie für A,B,C [mm]\subseteq[/mm] G mit G ist Grundmenge:
> a) Wenn A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] C, dann folgt A
> [mm]\subseteq[/mm] C (Transivitätsgesetz)
>
> b) (A [mm]\cap[/mm] B) \ C= [mm](A\C) \cap (B\C)[/mm] (Distributivgesetz für
> Differenzmengen)
> Hallo,
> um ehrlich zu sein: keine Ahnung wie ich hier rangehen
> soll.
> Ich verstehe zwar die Aussagen, jedoch weiß ich nicht wie
> ich diese Beweisen soll.
Na, da wirst du über die Definitionen gehen müssen ...
Nehmen wir mal a)
Es ist vorausgesetzt, dass [mm]A\subseteq B[/mm] und [mm]B\subseteq C[/mm]
Zu zeigen ist [mm]A\subseteq C[/mm]
Also zu zeigen: Jedes [mm]x\in G[/mm], das ist [mm]A[/mm] ist, ist auch in [mm]C[/mm] - formal: [mm]\forall x\in G: x\in A\Rightarrow x\in C[/mm]
Nehmen wir also ein bel. [mm]x\in G[/mm] her mit [mm]x\in A[/mm].
Nochmal: zeigen müssen wir, dass dieses [mm]x[/mm] auch in [mm]C[/mm] ist.
Die Voraussetzung [mm]A\subseteq B[/mm] sagt dann, dass dieses [mm]x[/mm] auch [mm]\in B[/mm] ist, die andere Voraussetzung [mm]B\subseteq C[/mm] besagt, dass dieses [mm]x[/mm] dann auch in [mm]C[/mm] ist.
Also [mm]x\in A\Rightarrow x\in B\Rightarrow x\in C[/mm]
Insgesamt: [mm]x\in A \Rightarrow x\in C[/mm], dh. [mm]A\subseteq C[/mm]
b) vesuche nun mal selber ...
Gehe ebenfalls über die Definition ...
Achtung: in b) ist eine Gleichheit von Mengen zu zeigen [mm]M=N[/mm]. Dazu zeige: 1) [mm]M\subseteq N[/mm] und 2) [mm]N\subseteq M[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:45 Mi 04.11.2015 | | Autor: | chris22 |
Ich versteh wie du vorhin vorgehst, hoffe ich machs wenigstens im ansatz richtig.
(A [mm] \cap B)\C= [/mm] (A [mm] \C) \cap [/mm] (B [mm] \C)
[/mm]
x [mm] \in [/mm] G
x [mm] \in [/mm] A ; x [mm] \in [/mm] B; x [mm] \not\in [/mm] C
x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C | x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C
A={1,2,3}; B={2,3,4};C={3,4,5}
(A [mm] \cap [/mm] B)= {2,3}; (A [mm] \cap [/mm] B) \ C= {2}
(A \ C) ={1,2}; (B \ C)={2}; 1 [mm] \cap [/mm] 2={2}
Aber ich muss die Sachen umformen, oder?
Aus (A \ C) [mm] \cap [/mm] (B \ C) mach ich (A \ B) [mm] \cap [/mm] C aber weiter weiß ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Do 05.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo chris22!
> Ich versteh wie du vorhin vorgehst, hoffe ich machs
> wenigstens im ansatz richtig.
> (A [mm]\cap B)\C=[/mm] (A [mm]\C) \cap[/mm] (B [mm]\C)[/mm]
Du meinst
[mm] $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus [/mm] C)$.
> x [mm]\in[/mm] G
> x [mm]\in[/mm] A ; x [mm]\in[/mm] B; x [mm]\not\in[/mm] C
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] C | x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] C
Ich kann dir nicht folgen!
Zu zeigen:
[mm] $x\in((A\cap B)\setminus C)\Longrightarrow x\in((A\setminus C)\cap (B\setminus [/mm] C))$
und
[mm] $x\in((A\setminus C)\cap (B\setminus C))\Longrightarrow x\in((A\cap B)\setminus [/mm] C)$.
(Mit dem Beweis der einen Seite ist die andere Seite trivial.
Für die "Reinschrift" empfiehlt sich die Nutzung von [mm] $\gdw$-Pfeilen.)
[/mm]
> A={1,2,3}; B={2,3,4};C={3,4,5}
> (A [mm]\cap[/mm] B)= {2,3}; (A [mm]\cap[/mm] B) \ C= {2}
> (A \ C) ={1,2}; (B \ C)={2}; 1 [mm]\cap[/mm] 2={2}
Du meinst [mm] $\{1,2\}\cap\{2\}=\{2\}$.
[/mm]
Das ist ein (richtig) durchgeführtes Beispiel, aber kein Beweis!
> Aber ich muss die Sachen umformen, oder?
> Aus (A \ C) [mm]\cap[/mm] (B \ C) mach ich (A \ B)[mm]\cap[/mm] C
Das stimmt nicht!
Gegenbeispiel:
[mm] $A:=\{1,2,3\},\quad B:=\{2\},\quad C:=\{3\}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 08.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Do 05.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo chris22!
Zu zeigen:
[mm] $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus [/mm] C)$.
1) Zeige, dass für zwei Mengen [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] gilt
[mm] $(\star)\quad A\setminus B=A\cap B^c$.
[/mm]
(Wahrscheinlich ist die Aussage bereits bewiesen.)
2) Verwende [mm] $(\star)$ [/mm] um die Behauptung
[mm] $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus [/mm] C)$
zu zeigen.
Tipp: Mit der rechten Seite der Gleichung beginnen!
Gruß
DieAcht
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