Beweis von Aussagen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Gegeben seien ganzen Zahlen a,b,c. Untersuchen Sie die folgenden Aussagen auf ihren Wahrheitswert. Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
b) [mm] a+1|a^2 [/mm] +1 --> a [mm] \in [/mm] {-3, -2, 0, 1}
d) 7 | 100a + b --> 7 | a + 4b |
Das sind die Teilaufgaben für die ich weder ein Gegenbeispiel finden konnte noch weiß wie ich sie beweisen soll.
Könnte mir jemand beim Ansatz helfen? Wie beweise ich sowas?
Vielen Dank schonmal,
Gruß
Andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
die erste aufgabe einfach durch einsetzen, das ist sicher am schnellsten!
0 und 1 ist eh klar also muss man nur -3 und -2 ausprobieren.
2. 100=2mod7
also hast du 2*a+b =0 mod 7 alle zahlen mod 7.
2a mod7 ist 0,2,4,6 mod 7 dann muss dazu passend in der gleichen Reihenfolge b =0,5,3,1 sein
a+4b=0
a= 0, 1,2,3,4,5,6 4b=.... jetzt bist du dran
2a darunterschreiben
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Mit einsetzen ist doch nur bestätigt, dass die Elemente der Menge stimmen, aber es ist nicht bewiesen, dass a aus dieser Menge sein muss, also es keine anderen Möglichkeiten für a gibt?
Was genau bedeutet denn mod 7 ? Also ich kann die Rechnung nicht wirklich nachvollziehen, sowas haben wir in der Vorlesung nicht behandelt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
zu 1 hab ich die aufgabe falsch gelesen, sorry
zu 2 habt ihr keine Restklassen behandelt?
amod 7 gibt den Rest bei division von a durch 7
100 lässt den rest 2, 24 den Rest 3 dann hat 100*23 den Rest 3*2
wenn du ddie restklassen nicht kennst nimm einfach die reste von a,b,100a und 4b bei division durch 7
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke für die Antwort. Also über Restklassen haben wir noch nicht gesprochen. Ich werd auch nicht wirklich schlau aus dem was du schreibst.
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Ohne modulo kannst so so argumentieren:
7 | 100a+b => 7 | 400a+4b => 7 | 400a+4b-7*57a = a+4b
und
$a+1 | [mm] a^2+1\Rightarrow [/mm] a+1 | [mm] (a+1)^2 [/mm] - [mm] (a^2+1)=2a\Rightarrow [/mm] a+1 | 2(a+1)-2a = [mm] 2\Rightarrow a+1\in\{\pm 1,\pm 2\}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke. Müsste es nicht 7*57 a sein dann?
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> Danke. Müsste es nicht 7*57 a sein dann?
ja, natürlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Also das erste (mal 4 rechnen) darf ich ja weil gilt a|b = a|b*c oder? Aber warum darf ich dann einfach -7*57a schreiben?
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> Also das erste (mal 4 rechnen) darf ich ja weil gilt a|b =
> a|b*c oder? Aber warum darf ich dann einfach -7*57a
> schreiben?
weil aus a|b und a|c folgt, dass [mm] $a|b\pm [/mm] c$
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:28 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank du hast mir sehr geholfen. Jetzt kann ich es nachvollziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben seien ganzen Zahlen a,b,c. Untersuchen Sie die
> folgenden Aussagen auf ihren Wahrheitswert. Geben Sie
> jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
>
> b) [mm]a+1|a^2[/mm] +1 --> a [mm]\in[/mm] {-3, -2, 0, 1}
modulo $a + 1$ ist [mm] $a^2 [/mm] + 1 [mm] \equiv (-1)^2 [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 2$.
Jetzt musst du schaun, wann $2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{a + 1}$ [/mm] sein kann.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Di 15.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke, aber könntest du das nochmal ohne Modulo erklären, das hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke, aber könntest du das nochmal ohne Modulo erklären,
> das hatten wir noch nicht in der Vorlesung.
Es ist [mm] $a^2 [/mm] + 1 = ((a + 1) - [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = (a + [mm] 1)^2 [/mm] - 2 (a + 1) + 2$.
Wann ist dies durch $a + 1$ teilbar?
LG Felix
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