Beweis: vollständige Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Sa 16.04.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hi ihr,
ich bin grad dabei gewesen, Aufgaben aus dem 1. Semester durchzurechnen und da fielen mir ein paar leere Stellen auf. Ich habe mit den folgenden Aufgaben ein paar Probleme. Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen:
1.) Aus den Peano - Axiomen folgt: Für alle n [mm] \in \IN\setminus\{1\} [/mm] gibt es m [mm] \in \IN [/mm] mit n=m'. Führen Sie den Beweis im Detail aus!
Meine erste Frage ... Ich habe mehrere Versuche gestartet und einmal n, aber auch Mal m im Induktionsanfang gleich 1 gesetzt. Das klappt auch jedes Mal, doch im Induktionsschritt komme ich dann einfach nicht weiter. Einmal erhalte ich, dass n=(m+1)+1 ist und das andere Mal kommt bei mir n=m raus. Das wären ja beides Widersprüche, doch das die Aussage richtig ist, ist mir schon klar!? Bitte ... kann mir jemand irgendwie weiterhelfen? Vielleicht mache ich irgendetwas falsch?!
2.) Zeigen Sie durch Induktion, dass für reelle x und n, k [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \vektor{n\\k}=0, [/mm] falls k>n.
Dort finde ich leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich beginnen soll. Das ist für mich alles so klar, dass ich es nicht in Frage setzen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo SusPie6,
> 2.) Zeigen Sie durch Induktion, dass für reelle x und n, k
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt:
> [mm]\vektor{n\\k}=0,[/mm] falls k>n.
Irgendwie fehlt hier noch das [mm] $x\!$ [/mm] in der Gleichung, oder? Denn sie ergibt für mich so keinen Sinn. Eine Kombination ist ein Bruch mit Fakultäten. Die einzige Möglichkeit wie dieser Bruch 0 werden könnte, ist Zähler = 0. Es ist aber bereits 0! = 1.
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> 2.) Zeigen Sie durch Induktion, dass für reelle x und n, k
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt:
> [mm]\vektor{n\\k}=0,[/mm] falls k>n.
Naja, dort vermisse auch ich ein $x$ [mm] ($\Rightarrow$ [/mm] bitte Aufgabenstellung überprüfen  ). Aber so, wie die Aufgabe dort steht:
Seien $n,k [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $k > n$. Dann gilt definitionsgemäß (![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis, S. 13, skriptinterne Zählung, Definition 2.9):
[mm]{n \choose k}
=\frac{\produkt_{i=1}^{k}\left(n-i+1\right)}{k!}
=\frac{n*(n-1)*\ldots*\overbrace{(n-n)}^{=0;\;fuer\;i=n+1}*\ldots*(n-k+1)}{k!}
=\frac{0}{k!}=0[/mm].
Das Entscheidende ist halt, dass wegen $k > n$, $k,n [mm] \in \IN_0$ [/mm] im Zähler einmal der Faktor $0$ auftaucht (und zwar für $i=n+1$, und dieser Faktor kommt vor, weil ja $i$ von 1 bis $k [mm] \ge [/mm] n+1$ läuft!)!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
Sorry, ich habe bei der 2en Aufgabe überlesen, dass das durch Induktion gezeigt werden soll. Naja, vielleicht guckst du dir meinen Beweis trotzdem mal an und nimmst dann $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] als fest an.
Induktionsanfang machst du dann mit $k=n+1$, Induktionsschritt: $k [mm] \mapsto [/mm] k+1$. Den Induktionsbeweis solltest du dann hinbekommen, wenn du in meinen Beweis nochmal reinguckst (sofern da kein $x$ fehlt in der Aufgabenstellung ).
Viele Grüße,
Marcel
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Hi,
> 2.) Zeigen Sie durch Induktion, dass für reelle x und n, k
> [mm]\in \IN_{0}[/mm] gilt:
> [mm]\vektor{n\\k}=0,[/mm] falls k>n.
Marcel hat Recht, da habe ich zu voreilig geurteilt. Zumindest definiert mein Computeralgebrasystem: [m]\forall z \in \left\{ {x \in \IZ|x < 0} \right\}:\prod\limits_{i = 1}^z i : = \pm \infty[/m]. Insofern liegt hier einfach ein Grenzwertprozess vor: [m]\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array} } \right) = \frac{{n!}}
{{k!\left( {n - k} \right)!}} \to \frac{{n!}}
{{ \pm \infty }} = 0[/m]. Ok, das war jetzt auch ohne vollständige Induktion. Sorry.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 So 17.04.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hi,
danke für eure Hilfe. Also, die Aufgabenstellung habe ich richtig hingeschrieben. Die Aufgabe, die ich hier notiert hatte, war nur ein Teil. Aber auch in dem anderen Teil kommt kein x vor ... vielleicht Mal wieder ein Schreibfehler vom Prof.
Die komplette Aufgabenstellung lautete:
Zeigen Sie durch Induktion, dass für reelle x und n,k [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
a) [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}=\vektor{n\\n-k} [/mm] für [mm] k\le [/mm] n;
b) [mm] \vektor{n\\k}=0, [/mm] falls k>n.
Naja, a habe ich selbst hinbekommen und bei b habt ihr mir ja geholfen. Und habt ihr vielleicht noch ne Idee fuer die andere Aufgabe)?
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