Beweis vollständige Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 20.09.2007 | | Autor: | wi1234 |
Hallo,
ich haber mir wieder einmal eine Aufgabe gesucht, die ich nicht zu Ende lösen kann. Evtl. kann mir jemand helfen:
Ich bin bis zum Induktionsschluss gekommen und möchte nur noch auflösen. Also, der Induktionsschluss sieht so aus:
[mm] \sum_{k=1}^{m+1} k^3 [/mm] = [mm] \bruch{m^2 (m+1)^2}{4} [/mm] + [mm] (m+1)^3
[/mm]
Das Ziel ist:
[mm] \bruch{(m+1)^2*(m+2)^2}{4}
[/mm]
Es wäre klasse wenn Ihr/Du mir den Weg so erklären könntet, dass ich ihn nachvollziehen kann.
Liebe Grüße, Heiko (funheiko[ät]gmx.de)
|
|
| |
|
Hallo,
>
> [mm]\sum_{k=1}^{m+1} k^3[/mm] = [mm]\bruch{m^2 (m+1)^2}{4}[/mm] + [mm](m+1)^3[/mm]
= [mm] (m+1)^2(\bruch{m^2 }{4}+(m+1))=\bruch{(m+1)^2 }{4}(m^2+4m+4)=
[/mm]
> [mm]\bruch{(m+1)^2*(m+2)^2}{4}[/mm]
Du mußt, wenn Du an solch einer Stelle wie oben bist, das Ziel ganz scharf ins Auge fassen. Hier wolltest Du das Ergebnis [mm] (m+1)^2*irgendwas, [/mm] und dieser Faktor steckte in beiden Summanden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 20.09.2007 | | Autor: | wi1234 |
Hallo Angela, liebe Mitleser,
danke für Deine schnelle Hilfe!
Ich kann den Weg aber nicht nachvollziehen. Zuerst hast Du (m+2)² ausgeklammert und vor die Klammer geschrieben, richtig!? Hast Du dann wieder mit 4 erweitert?
Was hast Du im Folgeschritt getan,wie kommen die Zahlen zustande? Stehe auf dem Schlauch ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Do 20.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo wi1234!
> Zuerst hast Du (m+2)² ausgeklammert und vor die Klammer geschrieben,
> richtig!?
Fast ... sie hat [mm] $(m+\red{1})^2$ [/mm] ausgeklammert ...
> Hast Du dann wieder mit 4 erweitert?
Ja, denn hier wurde die hintere Klammer auf den Hauptenner gebacht:
[mm] $$\left[\bruch{m^2 }{4}+(m+1)\right] [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{m^2 }{4}+\bruch{4*(m+1)}{4}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m^2+4*(m+1)}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m^2+4*m+4}{4}$$
[/mm]
Und nun im Zähler eine binomische Formel anwenden ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 24.09.2007 | | Autor: | wi1234 |
Danke, ich habe es verstanden. Manchmal stehe ich auf dem Schlauch, dabei ist die Vorgehensweise immer die gleiche bei der vollständigen Induktion. Man darf wirklich NIE das Ziel aus dem Blick verlieren und muss immer streng darauf hin arbeiten und die Rechengesetze im Kopf haben.
Liebe Grüße und tolles Forum, Heiko
|
|
|
|
