Beweis über Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Zeige für konvergente Folgen [mm] (a_n)_{n \in IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n \in IN}: [/mm] Die durch [mm] x_n [/mm] = max { [mm] a_n, b_n [/mm] }, y = min { [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n [/mm] } definierten Folgen konvergieren und es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = max { [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] }, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = min { [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] }. |
Die Aussagen sind ja eigentlich intuitiv klar, ich bin mir aber bzgl. eines Beweises nicht sich.
wenn man z.B. annimmt: [mm] a_n \ge b_n [/mm] , dann wäre ja [mm] x_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] = [mm] b_n. [/mm] Und da [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] kovergieren, konvergieren dann auch [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n. [/mm] Oder mache ich es mir jetzt zu leicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige für konvergente Folgen [mm](a_n)_{n \in IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n \in IN}:[/mm]
> Die durch [mm]x_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= max { [mm]a_n, b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, y = min { [mm]a_n[/mm] , [mm]b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> definierten Folgen konvergieren und es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= max {
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] ,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
},
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= min {
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] ,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Die Aussagen sind ja eigentlich intuitiv klar, ich bin mir
> aber bzgl. eines Beweises nicht sich.
>
> wenn man z.B. annimmt: [mm]a_n \ge b_n[/mm] , dann wäre ja [mm]x_n[/mm] =
> [mm]a_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] = [mm]b_n.[/mm] Und da [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] kovergieren,
> konvergieren dann auch [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n.[/mm] Oder mache ich es mir
> jetzt zu leicht?
Ja, denn Du nimmst an, es sei [mm]a_n \ge b_n[/mm] für jedes n.
Das muß aber nicht zutreffen.
Es gilt: max [mm] \{u,v\}= \bruch{u+v+|u-v|}{2}
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:26 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Aber diese Formel ergibt doch auch für a [mm] \ge [/mm] b, dass max { [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n [/mm] } = [mm] a_n [/mm] und wenn a<b ist, dass max { [mm] a_n, b_n [/mm] } = [mm] b_n [/mm] .
Wenn ich dann mit diesen beiden Fällen eine fallunterscheidung mache, geht der fall a<b doch analog zu dem, was ich für a [mm] \ge [/mm] b geschrieben hatte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Oder liege ich damit ganz falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wo ist Dein Problem ?
Es ist mit a= lim [mm] a_n [/mm] und b= lim [mm] b_n:
[/mm]
[mm] $x_n=max \{a_n,b_n\}= \bruch{a_n+b_n+|a_n-b_n|}{2} \to \bruch{a+b+|a-b|}{2} [/mm] = max [mm] \{a,b\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ist damit schon alles gezeigt? Also auch dass [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] (das geht ja dann entsprechend) konvergieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist damit schon alles gezeigt? Also auch dass [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm]
> (das geht ja dann entsprechend) konvergieren?
Dass [mm] (x_n) [/mm] konv. (und wogegen) hab ich Dir oben gezeigt.
Für [mm] (y_n) [/mm] gehts entprechend, wenn Du eine entsprechende Formel für min [mm] \{u,v\} [/mm] ausgetüftelt hast. Mach mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 29.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also dann [mm] y_n [/mm] = min { [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n [/mm] } = [mm] \bruch{a_n+b_n - |a_n -b_n|}{2} [/mm] --> [mm] \bruch{a+b-|a-b|}{2}= [/mm] min {a,b}?
Ist die Aufgabe damit gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also dann [mm]y_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= min { [mm]a_n[/mm] , [mm]b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = [mm]\bruch{a_n+b_n - |a_n -b_n|}{2}[/mm]
> --> [mm]\bruch{a+b-|a-b|}{2}=[/mm] min {a,b}?
>
> Ist die Aufgabe damit gelöst?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 30.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Was ist eigentlich, wenn es zwischendurch mal Sprünge gibt, also z.B.: [mm] a_1 >b_1 [/mm] aber [mm] a_3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Was ist eigentlich, wenn es zwischendurch mal Sprünge
> gibt, also z.B.: [mm]a_1 >b_1[/mm] aber [mm]a_3
> oben bewiesene immernoch?
Ja, glaubs mir doch endlich oder noch besser: überzeuge Dich von der Richtigkeit ! Wo klemmts den so arg ?
FRED
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