Beweis symmetrische Differenz < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
(A [mm] \cup [/mm] B) \ (B [mm] \cap [/mm] A) = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) |
Leider habe ich nie wirklich gelernt, wie man Beweise führt und finde auf meiner Suche zwar viele Beispiele, welche ich auch größtenteils nachvollziehen kann, der richtige Weg für eben dieses Problem, dem ersten wirklichen Beweis meines Mathematikerlebens :), hat sich mir leider noch nicht eröffnet. Ich wurde ins kalte Wasser geschmissen und versuche nun zu schwimmen:
Zuerst habe ich es mit einfacher Logik versucht und für beide Seiten herausgefunden, dass für jedes Element x der Menge M gilt, dass es nicht Bestandteil der Schnittmenge A [mm] \cap [/mm] B sein darf.
Blos dachte ich mir, dass es das doch nicht sein kann. Da fehlen doch bestimmt die Zwischenschritte ... So habe ich für B die Menge [mm] \emptyset [/mm] eingesetzt, sodass am Ende A = A herauskam. Auch nicht sehr befriedigend wie ich finde.
Nun stellt sich für mich eben die Frage, was denn überhaupt verlangt wird. Welche Umformung muss eine Gültigkeit erreichen, sodass sie als Beweis akzeptiert wird?
Danke schonmal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Max1603 |
weißt du wie mal eine Gleichheit zweier Mengen zeigt???
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Hallo fremdling!
> Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
> (A [mm]\cup[/mm] B) \ (B [mm]\cap[/mm] A) = (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
Fang doch mal so an:
[mm] $x\in (A\cup B)\backslash(B\cap [/mm] A) [mm] \gdw x\in (A\cup B)\wedge x\notin (B\cap A)\gdw (x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B) [mm] \wedge(x\notin A\vee x\notin B)\gdw (\underbrace{x\in A\wedge x\notin A}_{=\emptyset})\vee (x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)\vee (\underbrace{x\in B\wedge x\notin B}_{=\emptyset})$
[/mm]
Und den letzten Schritt schaffst du jetzt bestimmt auch selber.
Sieh dir evtl. auch noch diesen Link an.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:50 Di 21.10.2008 | | Autor: | ilfairy |
> [mm]x\in (A\cup B)\backslash(B\cap A) \gdw x\in (A\cup B)\wedge x\notin (B\cap A)\gdw (x\in A \vee x\in B) \wedge(x\notin A\vee x\notin B)\gdw (\underbrace{x\in A\wedge x\notin A}_{=\emptyset})\vee (x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)\vee (\underbrace{x\in B\wedge x\notin B}_{=\emptyset})[/mm]
>
Die zweite Äquivalenz stimmt so nicht.
Denn es gilt: [mm]x\not\in (B\cap A)[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm](x\not\in A \wedge x\not\in B)[/mm]
und nun?
Gruß
ilfairy
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 10:38 Di 17.11.2009 | | Autor: | Marc |
> > [mm]x\in (A\cup B)\backslash(B\cap A) \gdw x\in (A\cup B)\wedge x\notin (B\cap A)\gdw (x\in A \vee x\in B) \wedge(x\notin A\vee x\notin B)\gdw (\underbrace{x\in A\wedge x\notin A}_{=\emptyset})\vee (x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)\vee (\underbrace{x\in B\wedge x\notin B}_{=\emptyset})[/mm]
>
> >
> Die zweite Äquivalenz stimmt so nicht.
> Denn es gilt: [mm]x\not\in (B\cap A)[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](x\not\in A \wedge x\not\in B)[/mm]
>
> und nun?
Das stimmt leider nicht 
[mm]x\not\in (B\cap A)[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](x\not\in A \vee x\not\in B)[/mm]
War schon richtig von Bastiane.
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 15:10 Mo 01.11.2010 | | Autor: | piedren |
Hi,wir haben bisher immer für A [mm] \cap [/mm] B x [mm] \in [/mm] A oder B geschrieben.
Wenn ich jetzt das auschreiben würde,was du mit [mm] \vee,\wedge [/mm] geschrieben hast, komm ich auf
(x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B) und (x [mm] \not\in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B)
Aber dann komm ich niemals zu dem selben Schluss wie du.
Logisch is mir die Äquivalenz schon, aber ich komm ab dem Schritt nemmer weiter.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 16:11 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo piedren,
> Hi,wir haben bisher immer für A [mm]\cap[/mm] B x [mm]\in[/mm] A oder B
> geschrieben.
Das hoffe ich nicht, denn
[mm] $x\in A\cap [/mm] B\ [mm] \gdw\ (x\in [/mm] A\ [mm] \text{ \underline{und} } x\in [/mm] B)$
> Wenn ich jetzt das auschreiben würde,was du mit
> [mm]\vee,\wedge[/mm] geschrieben hast, komm ich auf
> (x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B) und (x [mm]\not\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B)
Das kann ich nicht nachvollziehen.
Vielleicht wird es deutlicher, wenn man zu Komplementärmengen übergeht und dort die De Morgan'schen Gesetze anwendet:
[mm] $x\not\in (A\cap [/mm] B)$
[mm] $\gdw\ x\in\overline{A\cap B}$
[/mm]
De Morgan:
[mm] $\gdw\ x\in\overline{A}\cup \overline{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x\in\overline{A}\ \text{ oder } x\in \overline{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x\not\in [/mm] A\ [mm] \text{ oder } x\not\in [/mm] B$
-Marc
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