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| Aufgabe | Man soll zeigen, dass für alle Primzahlen paußer 2 folgendes gilt:
Entweder ist p kongruent (1 mod 4) oder kongruent zu (3 mod 4). |
Ich habe es getestet, und es passt gut. Aber warum ist das so?
Ich habe die beiden Sachen mehrmals umgeschrieben:
4 teilt (p-1) oder 4 teilt (p-3)
4*q1=p-1 oder 4*q2=p-3
p=4q+1 oder p=4q+3
Aber das sind ja alles umforumungen und bewiesen hab ich nichts.
Ich habe es versucht mit dem Eulersatz:
a^phi(m) = 1 mod m
Da kommt bei mir aber dann ein Widerspruch raus:
p kongreunt 1 mod 4
a²=p
(hoch 2 weil phi(4)=2)
Aber eine Primzahl kann doch nicht als quadrat dargstellt werden.
Was ist falsch?
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> Man soll zeigen, dass für alle Primzahlen paußer 2
> folgendes gilt:
> Entweder ist p kongruent (1 mod 4) oder kongruent zu (3
> mod 4).
> Ich habe es getestet, und es passt gut. Aber warum ist das
> so?
Hallo,
das kannst Du total simpel angehen:
als Reste mod 4 kommen prinzipiell 0,1,2,3 infrage.
Nun bedenke, daß alle Primzahlen außer der 2 ungerade sind.
Gruß v. Angela
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Ah, vielen Dank!
Dann war das ja total einfach.
Es fällt dann die Restklasse 0 und 2 weg.
Damit habe ich dann aber wohl auch bewiesen, dass diese Aussage nicht nur für p, sondern für alle ungeraden Zahlen größer 2 gilt.
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> Damit habe ich dann aber wohl auch bewiesen, dass diese
> Aussage nicht nur für p, sondern für alle ungeraden Zahlen
> größer 2 gilt.
Ja.
Es ist in der Aufgabe zwar nicht gefordert, aber vielleicht zur Befriedigung des eigenen Wiisensdurstes nützlich:
gibt's denn für 1mod4 und 3 mod4 jeweils Primzahlen? (Es gibt.)
Gruß v. Angela
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Mmmh, interessant, also das kann man aber nur durchs Probieren rausfinden oder?
Ich hab dann zu jedem vielfachen von 4 immer 1 und 3 dazuaddiert, und da muss man wohl gucken, wo eine Primzahl doppelt auftaucht, das ist aber nicht der Fall:
4 5 7
8 9 11
12 13 15
16 17 19
20 21 23
24 25 27
28 29 31
32 33 35
36 37 39
40 41 43
44 45 47
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> Ich hab dann zu jedem vielfachen von 4 immer 1 und 3
> dazuaddiert, und da muss man wohl gucken, wo eine Primzahl
> doppelt auftaucht, das ist aber nicht der Fall:
Da hast Du mich mißverstanden: es kann doch keine zahl gleichzeitig den rest 1 und 3 lassen!
Ich meinte bloß:
Gibt es eine Primzahl, die kongruent 1 mod 4 ist? Ja, z.B. 5 und 13.
Gibt es eine Primzahl, die kongruent 3 mod 4 ist? Ja, z.B. 3 und 7.
Gruß v. Angela
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