Beweis per Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Fr 13.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
| Aufgabe | Man beweise per vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n [/mm] (n+1)(2n+1) |
Hallo zusammen!
Bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
Ich habe für den Beweis folgendes:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{6}n [/mm] (n+1)(2n+1) + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
Und hier hänge ich nun. Wie kann ich das jetzt so umformen, dass man es leicht erkennt dass es stimmt?
Danke!
Schönen Gruß
Jan
Diese Frage hab ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Jan !!!
Zunächst solltest du dir klarmachen, was mit vollständiger Induktion gemeint ist. Grundlage dafür sind die ![[]](/images/popup.gif) Axiome von Peano.
Als erstes solltest du überprüfen, ob es denn für die erste natürliche Zahl gilt. Sprich $n=1$.(Induktionsanfang)
Falls es stimmt, so kannst du schonmal "voraussetzen", dass es eine natürliche Zahl gibt, für die die Behauptung stimmt.(falls nicht, nimmst du die nächstgrößere Zahl). Diese ist die Induktionsvoraussetzung
Nun musst du den Schluss [mm] $n\mapsto [/mm] n+1$ ziehen.(Induktionsschluss)
Dein Ansatz ist schon soweit in Ordnung:
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2$
[/mm]
Nun hast du ja eine natürliche Zahl überprüft, für die es stimmt, somit kannst du den Term
[mm] $\sum_{k=1}^{n}k^2$ [/mm]
ersetzen. (womit?)
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2=...........+(n+1)^2$
[/mm]
Hast du den Term ersetzt, so musst du den neuen Ausdruck insofern verändern, dass du am Ende
[mm] $\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)$
[/mm]
stehen hast.
P.S.: Manchmal ist es einfacher, die Klammern aufzulösen, anstatt die faktorisierte Version zu finden.
Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 13.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
Alles klar, danke!!!
Gruß
Jan
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