Beweis offene Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Fr 17.02.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | hey ihr! Schreibe bald Analysis und habe noch probleme mit offenen und geschlossenen mengen. |
z.b. hier: zeige, $ (0,1) $ ist eine offene menge. Die definition
Ist [mm] M\subset \IR [/mm] , dann nennt man M offen, falls gilt:
Für jedes x aus M gibt es eine reelle Zahl [mm] \varepsilon [/mm] > 0, sodass jeder Punkt y aus [mm] \IR, [/mm] dessen Abstand zu x kleiner ist als ε, in M liegt.
ist mir glaube ich klar. Nur wie kann die nur anwenden? Oder soll ich einfach zeigen, dass diese menge nicht abgschlossen ist und damit offen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Fr 17.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Menge die nicht abgeschlossen ist, ist nicht unbedingt offen.
etwa [0,1) ist weder noch. abgechlossen zeigt man darüber, dass das Komplement offen ist!
also; du kannst doch zu jedem [mm] x\in [/mm] (1,0) ein /epsilon angeben, das ganz darin liegt. sieh dir den Abstand zu 1 und 0 an, halbier ihn!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 18.02.2012 | | Autor: | saendra |
Also ich schaff das irgwie nicht, ich find offene mengen höchst seltsam....
Sei [mm] x\in(0,1).... [/mm] und dann? Die bedeutung des epsilon ist mir klar, nur wie komm ich da hin? :-(
Beim grenzwert von folgen ist mir das ganz klar, wie ich jeweils das epsilon einsetze. Nur hier nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir malen: die Zahlengerade, das Intervall(0,1) und ein x [mm] \in [/mm] (0,1).
Jetzt messen wir die Abstände von x zu den Randpunkten 0 und 1:
Abstand von 0 und x: x
Abstand von 1 und x: 1-x
Ein mögliches [mm] \varepsilon [/mm] ist der kleinere der beiden Abstände
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 18.02.2012 | | Autor: | saendra |
Danke. ok das mit dem abstand hab ich verstanden.
Schreib ich dann das jetzt einfach so hin:
1. fall: $ x<0,5 [mm] \Rightarrow \varepsilon [/mm] =x $
2. fall: $ x>0,5 [mm] \Rightarrow \varepsilon [/mm] =1-x $
3. fall: $ x=0,5 [mm] \Rightarrow \varepsilon [/mm] =0,5 $
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke. ok das mit dem abstand hab ich verstanden.
>
> Schreib ich dann das jetzt einfach so hin:
>
> 1. fall: [mm]x<0,5 \Rightarrow \varepsilon =x[/mm]
> 2. fall: [mm]x>0,5 \Rightarrow \varepsilon =1-x[/mm]
> 3. fall: [mm]x=0,5 \Rightarrow \varepsilon =0,5[/mm]
Nachweisen, dass dieses [mm] \varepsilon [/mm] das Gewünschte leistet, solltest Du noch
FRED
>
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 18.02.2012 | | Autor: | saendra |
Ich fühl mich da immer noch total unsicher.
1. fall: Sei $ x<0,5 $. Dann gilt für $ [mm] \varepsilon [/mm] =x [mm] :\quad d(\varepsilon [/mm] ,0)>0 $
2. fall: Sei $ x>0,5 $. Dann gilt für $ [mm] \varepsilon [/mm] =x [mm] :\quad d(\varepsilon [/mm] ,1)>0 $
3. fall: Sei $ x=0,5 $. Dann gilt für $ [mm] \varepsilon [/mm] =0,5 [mm] :\quad d(\varepsilon [/mm] ,0)>0 $ ?
Das hat aber nix mit metrischen räumen zu tun oder?
das find ich so komisch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Sa 18.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest die Menge M= (0,1) beschreiben:
[mm] M={x\in\IR| 0
a)x>0,5 wähle [mm] \epsilon=(1-x) [/mm] dann gilt für alle y mit [mm] d(x,y)=|x-y|<\epsilon y\in [/mm] M denn aus [mm] x-\epsilon
<=> x-(1-x)<y<x+(1-x)<=> 2x-1<y<1
folgt 0<y<1 also [mm] y\in [/mm] M
für x<1/2 machs entsprechend
wenn es leichter fällt kannst du auch [mm] \epsilon [/mm] noch halbieren.
Gruss leduart
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