Beweis oder Widerspruch < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 15.06.2008 | | Autor: | L1NK |
| Aufgabe | Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als abbrechender Dezimalbruch darstellen lassen.
(a) Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ID gilt a + b ∈ ID und a · b ∈ ID.
(b) Zeigen Sie: Zwischen je zwei verschiedenen Bruchzahlen liegt immer eine Zahl, die sich als abbrechender Dezimalbruch schreiben läßt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo, hab keinerlei Ansatzpunkt...
Vielen Dank schonmal.
Gruss L1NK
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> Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als
> abbrechender Dezimalbruch darstellen lassen.
> (a) Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ID gilt a + b
> ∈ ID und a · b ∈ ID.
> (b) Zeigen Sie: Zwischen je zwei verschiedenen Bruchzahlen
> liegt immer eine Zahl, die sich als abbrechender
> Dezimalbruch schreiben läßt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo, hab keinerlei Ansatzpunkt...
$a$ lässt sich genau dann als abbrechender Dezimalbruch schreiben, wenn es ein [mm] $n_a\in \IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $a\cdot 10^{n_a}\in \IZ$ [/mm] gilt. Analog für $b$. Zu zeigen wäre also z.B. dass es unter dieser Voraussetzung für $a$ und $b$ ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $(a+b)\cdot 10^{n}$ [/mm] eine ganze Zahl ist. Nun, wähle $n := [mm] \max(n_a,n_b)$, [/mm] dann ist [mm] $a\cdot 10^{n}\in \IZ$ [/mm] und auch [mm] $b\cdot 10^{n}\in \IZ$, [/mm] also [mm] $a\cdot 10^{n}+b\cdot 10^{n}=(a+b)\cdot 10^n\in \IZ$.
[/mm]
Analog verläuft der Beweis, dass sich [mm] $a\cdot [/mm] b$ als abbrechender Dezimalbruch schreiben lässt.
Um (b) zu beweisen, könnte man etwa zeigen, dass sich auch $c := [mm] \frac{a+b}{2}$ [/mm] als abbrechender Dezimalbruch schreiben lässt. Denn es ist [mm] $c\cdot 10^{\max(n_a,n_b)+1}=5\cdot (a+b)\cdot 10^{\max(n_a,n_b)}\in \IZ$.
[/mm]
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