Beweis n über k < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Mo 23.09.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien k, n [mm] \in \IN [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.
Beweise: [mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] = [mm] \pmat{ n-1 \\ k-1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n-1 \\ k } [/mm] |
Hallo.
Ich frische gerade Beweise auf und bei der Aufgabe komme ich ziemlich ins stocken.
[mm] \pmat{ n-1 \\ k-1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n-1 \\ k } [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-k+1)!*(k-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!*(k-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!}
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] rauskommen muss.
Jetzt habe ich probiert, [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!*(k-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!} [/mm] auf den gleichen Nenner zu bringen aber das hat mir nicht geholfen.
Weiß jemand, wie ich weitermachen muss?
Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 23.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien k, n [mm]\in \IN[/mm] mit 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n.
>
> Beweise: [mm]\pmat{ n \\ k }[/mm] = [mm]\pmat{ n-1 \\ k-1 }[/mm] + [mm]\pmat{ n-1 \\ k }[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich frische gerade Beweise auf und bei der Aufgabe komme
> ich ziemlich ins stocken.
>
>
> [mm]\pmat{ n-1 \\ k-1 }[/mm] + [mm]\pmat{ n-1 \\ k }[/mm] =
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-1-k+1)!*(k-1)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-k)!*(k-1)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!}[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]\pmat{ n \\ k }[/mm] = [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*k!}[/mm]
> rauskommen muss.
>
Das ist schonmal gut, wenn du das Ziel kennst.
> Jetzt habe ich probiert, [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-k)!*(k-1)!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!*k!}[/mm] auf den gleichen Nenner zu
> bringen aber das hat mir nicht geholfen.
Das hilft aber.
>
>
> Weiß jemand, wie ich weitermachen muss?
Passend erweitern:
[mm] \frac{(n-1)!}{(n-k)!\cdot(k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!\cdot k!}
[/mm]
[mm] =\frac{(n-1)!\cdot k}{(n-k)!\cdot(k-1)!\cdot k}+\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{((n-k)-1)!\cdot k!\cdot(n-k)}
[/mm]
[mm] =\frac{(n-1)!\cdot k}{(n-k)!\cdot k!}+\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot k!}
[/mm]
[mm] =\frac{(n-1)!\cdot k+(n-1)!\cdot(n-k)}{(n-k)!\cdot k!}
[/mm]
Klammere nun im Zähler (n-1)! aus.
Marius
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