Beweis mit Summenzeichnen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i / (i+1)! = 1 - (1/(n+1)!) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider komme ich hier nicht weiter. Wenn ich die Summe ausschreibe, dann sieht es so aus:
[mm] \gdw [/mm] 1/2! + 2/3! + 3/4! +...+ n/(n+1)! + 1/(n+1)! = 1
[mm] \gdw [/mm] 1/2! + 2/3! + 3/4! +...+ (n+1)/(n+1)! = 1
Ich weiss nicht weiter.
|
|
| |
|
Hallo Coolmaennchen,
> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\sum_{i=1}^n{\frac{i}{(i+1)!}} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}[/mm]
Benutze doch die vollständige Induktion!
[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }(n = 1):}[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^1{\frac{i}{(i+1)!}} = \frac{1}{(1+1)!} = \frac{1}{2}=1 - \frac{1}{(1+1)!}\quad\checkmark[/mm]
Unter der Annahme daß die zu beweisende Aussage gilt, machen wir denn ...
[mm]\underline{\texttt{Induktionsschritt }(n\leadsto n+1):}[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i}{(i+1)!}} = \frac{n+1}{(n+2)!} + \sum_{i=1}^n{\frac{i}{(i+1)!}}\mathop =^{\texttt{I.A.}} \frac{n+1}{(n+2)!} + 1 - \frac{1}{(n+1)!} = 1 - \left(\frac{1}{(n+1)!} - \frac{n+1}{(n+2)!}\right)[/mm]
Das heißt, du mußt jetzt lediglich zeigen, daß diese beiden Terme gleich sind, was du durchs "Kürzen, Vereinfachen,... auf beiden Seiten" tun kannst. Multipliziere die Gleichung z.B. mal auf beiden Seiten mit [mm](n+2)![/mm] und kürze anschließend...
[mm]\frac{1}{(n+1)!} - \frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+2)!}[/mm]
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Die vollständige Induktion ist mir immer noch ein Rätsel, aber ich kann das Ergebnis jetzt nachvollziehen. Wäre ich nie alleine darauf gekommen.
|
|
|
|
