Beweis mit Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:06 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Aslof |
| Aufgabe | Zu zeigen ist:
[mm] \bigcap(\mathcal{M}\cup\mathcal{N})\subseteq(\bigcup \mathcal{M} )\cap(\bigcup\mathcal{N}) [/mm] |
Moin,
ich stehe hier gerade wie der Ox vor dem Berg wie man so schon sagt. Wir hatten bisher nur Äquivalenzbeweise ohne Prädikatenlogik und jetzt sollen wir zeigen das die Teilmenge von etwas gilt (siehe Aufgabe).
Dummerweise komme ich damit absolut nicht klar. Ich forme beide Seiten immer so weit um wie es geht und stehe dann vor dem folgenden Ausdruck:
[mm] (\forall [/mm] X [mm] \in \mathcal{M} \vee \mathcal{N} [/mm] : x [mm] \in [/mm] X) [mm] \subseteq (\exists [/mm] X [mm] \in \mathcal{M}\wedge\mathcal{N}: [/mm] x [mm] \in [/mm] X)
Wie kann ich daraus jetzt beweisen (bzw. auf irgendeinem anderen Weg) das die Teilmengenbeziehung gilt?
Ich bin wie immer für jede Hilfe dankbar.
Mfg Aslof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu zeigen ist:
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> [mm]\bigcap(\mathcal{M}\cup\mathcal{N})\subseteq(\bigcup \mathcal{M} )\cap(\bigcup\mathcal{N})[/mm]
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> Moin,
>
> ich stehe hier gerade wie der Ox vor dem Berg wie man so
> schon sagt. Wir hatten bisher nur Äquivalenzbeweise ohne
> Prädikatenlogik und jetzt sollen wir zeigen das die
> Teilmenge von etwas gilt (siehe Aufgabe).
>
> Dummerweise komme ich damit absolut nicht klar. Ich forme
> beide Seiten immer so weit um wie es geht und stehe dann
> vor dem folgenden Ausdruck:
>
> [mm](\forall[/mm] X [mm]\in \mathcal{M} \vee \mathcal{N}[/mm] : x [mm]\in[/mm] X)
> [mm]\subseteq (\exists[/mm] X [mm]\in \mathcal{M}\wedge\mathcal{N}:[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X)
>
> Wie kann ich daraus jetzt beweisen (bzw. auf irgendeinem
> anderen Weg) das die Teilmengenbeziehung gilt?
nimm irgendein $x [mm] \in \bigcap (\mathcal{M} \cup \mathcal{N})$ [/mm] her (nur diese Eigenschaft, es ist ansonsten
"beliebig"!).
Zu zeigen ist doch, dass dann
$x [mm] \in \bigcup \mathcal{M}$ [/mm] und $x [mm] \in \bigcup \mathcal{N}$
[/mm]
folgt.
Mir ist hier allerdings unklar, was [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{N}$ [/mm] sein sollen. (Wenn das,
was ich mir vorstelle, was Sinn macht, tatsächlich gemeint wäre, wäre die
Aussage falsch...)
Machen wir aber mal ein anderes Beispiel: Sei [mm] $I\,$ [/mm] nichtleere Indexmenge
und [mm] $(A_i: [/mm] i [mm] \in [/mm] I)$ sowie [mm] $(B_i: [/mm] i [mm] \in [/mm] I)$ Familien von Mengen.
Dann gilt
[mm] $\bigcup_{i \in I} (A_i \cap B_i)\;\; \subseteq \;\; \left(\bigcup_{i \in I}A_i\right)\cap \left(\bigcup_{i \in I}B_i\right)\,.$
[/mm]
Beweis: Sei $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B_i)\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $i_0 \in [/mm] I$ so, dass $x [mm] \in (A_{i_0} \cap B_{i_0})\,.$ [/mm] Also gilt
sowohl
$x [mm] \in A_{i_0}$
[/mm]
als auch
$x [mm] \in B_{i_0}\,.$
[/mm]
Wegen $x [mm] \in A_{i_0}$ [/mm] und [mm] $A_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i$ [/mm] (beachte [mm] $\{i_0\} \subseteq [/mm] I$) folgt
$x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i\,,$
[/mm]
und wegen $x [mm] \in B_{i_0}$ [/mm] und [mm] $B_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i$ [/mm] folgt
$x [mm] \in \bigcup_{i \in I} B_i\,.$
[/mm]
Also gilt
$x [mm] \in \bigcup_{i \in I} A_i\,$ [/mm] und $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} B_i\,,$
[/mm]
d.h.
$x [mm] \in \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} B_i\right)\,.$
[/mm]
Natürlich kannst Du das noch "formal" auch komplett in die
prädikantenlogische Notation umschreiben...
Ganz sauber wird das vielleicht nicht sein, aber bspw.:
> Für alle $x [mm] \in \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B_i)\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $i_0 \in [/mm] I$
> so, dass $x [mm] \in (A_{i_0} \cap B_{i_0})\,.$
[/mm]
[mm] $(\forall [/mm] x):$ $(x [mm] \in \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B_i)$ $\Rightarrow$ $\exists i_0 \in I:\;\; [/mm] (x [mm] \in A_{i_0} \cap B_{i_0}))$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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