Beweis mit Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Choji |
| Aufgabe | Sei f: D [mm] \to \IZ [/mm] eine (nicht notwendigerweise bijektive) Abbildung mit der Bildmenge [mm] \IB_{f}.
[/mm]
(a) Beweisen Sie die folgenden Behauptungen für alle Mengen A,B [mm] \subseteq \IB_{f} [/mm] :
{f^-1(t) : [mm] t\in A\cap [/mm] B} = {f^-1(t) : [mm] t\in [/mm] A} [mm] \cap [/mm] {f^-1(t) : [mm] t\in [/mm] B}
(b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen für alle Mengen [mm] M\subseteq [/mm] D und [mm] N\subseteq\IB_{f} [/mm] gelten. Überprüfen Sie außerdem, in welchen der beiden Fällen sogar Gleichheit gilt. Beweisen Sie Ihre Behauptungen.
{f(f^-1(t)) : [mm] t\in N}\subseteq [/mm] N
{f(f^-1(t)) : [mm] t\in M}\supseteq [/mm] M |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe eigentlich nicht wirklich, wie ich diese Behauptungen beweisen soll. Mir ist anschaulich klar, dass diese Behauptungen gelten, ich habe für mich auch eine kleine Skizze gemacht, die das veranschaulicht. Aber wie soll man das mathematisch genau beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Choji und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei f: D [mm]\to \IZ[/mm] eine (nicht notwendigerweise bijektive)
> Abbildung mit der Bildmenge [mm]\IB_{f}.[/mm]
Ist hier wirklich die Menge [mm] $\IZ$ [/mm] der ganzen Zahlen gemeint oder eine beliebige Zielmenge $Z$?
> (a) Beweisen Sie die folgenden Behauptungen für alle
> Mengen A,B [mm]\subseteq \IB_{f}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:
> $\{$f^-1(t) : [mm]t\in A\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$ = $\{f^-1(t)$ : [mm]t\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A$\}$ [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$f^-1(t)
> : [mm]t\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
Ich kenne nur die Schreibweise
$f^{-1}(A):=\{d\in D\;|\;f(d)\in A\}$
für $A\subseteq\IB_f$ oder allgemeiner $A\subseteq Z$.
Was ist mit $f^{-1}(t)$ für $t\in\IB_f$ gemeint, wenn $f$ nicht notwendig bijektiv ist? Vielleicht
$f^{-1}(t)=f^{-1}(\{t\})=\{d\in D\;|\;f(d)=t\}$?
> (b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen für
> alle Mengen [mm]M\subseteq[/mm] D und [mm]N\subseteq\IB_{f}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gelten.
> Überprüfen Sie außerdem, in welchen der beiden Fällen
> sogar Gleichheit gilt. Beweisen Sie Ihre Behauptungen.
> $\{$f(f^-1(t)) : [mm]t\in N$\}$\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N
Wenn meine obige Vermutung stimmt, ist für $t\in N$
$f^{-1}(t)\subseteq D$
und damit
$f(f^{-1}(t))\subseteq Z$
Im Allgemeinen wird gar nicht $f(f^{-1}(t))\in Z$ gelten, geschweige denn $f(f^{-1}(t))\in N$.
> $\{$f(f^-1(t)) : [mm]t\in M\}\supseteq[/mm] M
Hier hast du dich sicherlich verschrieben. Was gehört da wirklich hin?
> Ich verstehe eigentlich nicht wirklich, wie ich diese
> Behauptungen beweisen soll. Mir ist anschaulich klar, dass
> diese Behauptungen gelten, ich habe für mich auch eine
> kleine Skizze gemacht, die das veranschaulicht. Aber wie
> soll man das mathematisch genau beweisen?
Grundsätzlich kannst du eine Aussage der Form [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ zeigen, indem du ein beliebig vorgegebenes [mm] $x\in [/mm] X$ betrachtest und zeigst, dass auch [mm] $x\in [/mm] Y$ gilt.
Eine Aussage der Form $X=Y$ für Mengen $X$ und $Y$ kannst du zeigen, indem du nacheinander [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ zeigst.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Fr 25.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm ein beliebiges Element das in der ersten Menge liegt, und zeige, dass es auch in der zweiten liegt.
zu b) was sagen denn deine Skizzen, achte genau daruf von was M,N Teilmengen sind, worin muss t liegen?
Gruss leduart
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Hmm ... Den Aufgabenteil b verstehe ich nicht ganz. Das ist doch trivial, oder übersehe ich etwas?
Gilt nicht f(f^-1(t))=t? Und damit folgt doch automatisch {t|t element N}=N. Das müsste doch auch für {f^-1(f(t))|t element M}={t|t element M} = M gelten. Das einzige was Probleme machen kann ist dieses "nicht notwendigerweise" bijektiv. Dann exisitiert f^-1 nicht und damit wäre die zweite aussage falsch da {f^-1(f(t))|t element M} = {} und damit keine Übermenge von M.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mo 28.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast vergessen darauf zu achten aus welcher menge jeweils t ist. wie sind die entsprechenden mengen definiert?
Gruss leduart
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