Beweis mit Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Hi, ich hatte diese Aufgabe schon einmal gepostet, aber dann stand da, das nur noch Intressierte diese sehen können. Außerdem hatte ich sie ins falsche Subforum gepostet. Deshalb poste ich sie verbessert hier nochmal:
Seien $ A, B [mm] \subset \IR^n [/mm] $.
Ich will zeigen, dass $ [mm] \overline{ A\cup B}\setminus\! (A\cup B)^\circ \subset (\overline{A}\setminus\! A^\circ) \cup (\overline{B}\setminus\! B^\circ) [/mm] $ ist.
$ [mm] \overline{A} [/mm] $ ist dabei der Abschluss von $ A $ und $ [mm] A^\circ [/mm] $ die Menge ohne (möglichen) Rand, also das Innere. |
Die Definition:
Sei $ [mm] A\subset \IR^n [/mm] $. Dann gilt:
$ [mm] x\in \overline{A}\setminus\! A^\circ\qquad \Rightarrow\qquad \forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ y\in [/mm] A,\ [mm] z\in (\IR^n\! \setminus\! [/mm] A) $ mit $ [mm] ||y-x||<\varepsilon [/mm] ,\ [mm] ||z-x||<\varepsilon [/mm] $
, die wir als Tipp bekommen haben, hilft mir leider nicht weiter. Kann jemand von euch mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 17.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hi, ich hatte diese Aufgabe schon einmal gepostet, aber
> dann stand da, das nur noch Intressierte diese sehen
> können. Außerdem hatte ich sie ins falsche Subforum
> gepostet. Deshalb poste ich sie verbessert hier nochmal:
>
>
> Seien [mm]A, B \subset \IR^n [/mm].
>
> Ich will zeigen, dass [mm]\overline{ A\cup B}\setminus\! (A\cup B)^\circ \subset (\overline{A}\setminus\! A^\circ) \cup (\overline{B}\setminus\! B^\circ)[/mm]
> ist.
>
> [mm]\overline{A}[/mm] ist dabei der Abschluss von [mm]A[/mm] und [mm]A^\circ[/mm] die
> Menge ohne (möglichen) Rand, also das Innere.
> Die Definition:
>
> Sei [mm]A\subset \IR^n [/mm]. Dann gilt:
>
> [mm]x\in \overline{A}\setminus\! A^\circ\qquad \Rightarrow\qquad \forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ y\in A,\ z\in (\IR^n\! \setminus\! A)[/mm]
> mit [mm]||y-x||<\varepsilon ,\ ||z-x||<\varepsilon[/mm]
>
>
> , die wir als Tipp bekommen haben, hilft mir leider nicht
> weiter. Kann jemand von euch mir helfen?
Es ist zu zeigen:
$ x [mm] \in \overline{ A\cup B}\setminus\! (A\cup B)^\circ \Rightarrow [/mm] x [mm] \in (\overline{A}\setminus\! A^\circ) \cup (\overline{B}\setminus\! B^\circ)$
[/mm]
Aus $ x [mm] \in \overline{ A\cup B}\setminus\! (A\cup B)^\circ$ [/mm] folgt mit dem Tipp:
[mm] $\forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ y\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B), z [mm] \in (\IR^n \! \setminus\! [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B))$ mit [mm]||y-x||<\varepsilon ,\ ||z-x||<\varepsilon[/mm]
Um weiter zu machen, und diese Bedingung "auseinander zu bekommen"
für $ [mm] (\overline{A}\setminus\! A^\circ)$ [/mm] und [mm] $(\overline{B}\setminus\! B^\circ)$, [/mm]
sollte man überlegen, was $u [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ bedeutet.
Gruß
meili
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