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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2} [/mm] |
Induktionsanfang n=1:
[mm] \summe_{k=1}^{1}k*q^{k-1}=\bruch{1-(1+1)q^1+1q^{1+1}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] 1*q^0= \bruch{1-2q+q^{2}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] 1*1=\bruch{(1-q)^2}{(1-q)^2}
[/mm]
1=1
Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}
[/mm]
Induktionsschritt n=n+1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*q^{k-1}=\bruch{1-((n+1)+1)q^{n+1}+(n+1)q^{(n+1)+1}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}+\summe_{k=n+1}^{n+1}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}
[/mm]
nach Induktionsvoraussetzung:
[mm] \bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+\summe_{k=n+1}^{n+1}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+(n+1)q^n=\bruch{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+\bruch{(n+1)q^n+(1-q)^2}{(1-q)^2}=\bruch{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1+nq^{n+1}+(1-q)^2}{(1-q)^2}=\bruch{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}
[/mm]
Kann mir Jemand helfen und meinen Fehler nenne?
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> Beweisen Sie mit Induktion:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}[/mm]
> Induktionsanfang n=1:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}k*q^{k-1}=\bruch{1-(1+1)q^1+1q^{1+1}}{(1-q)^2}[/mm]
>
> [mm]1*q^0= \bruch{1-2q+q^{2}}{(1-q)^2}[/mm]
>
> [mm]1*1=\bruch{(1-q)^2}{(1-q)^2}[/mm]
>
> 1=1
>
>
> Induktionsvorraussetzung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}=\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}[/mm]
für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
>
> Induktionsschritt n=n+1:
>
>
zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*q^{k-1}=\bruch{1-((n+1)+1)q^{n+1}+(n+1)q^{(n+1)+1}}{(1-q)^2}[/mm]
Beweis:
Es ist
> [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*q^{k-1}=
[/mm]
>
> [mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^{k-1}+\summe_{k=n+1}^{n+1}k*q^{k-1}=
[/mm]
>
> nach Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm] \bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+\summe_{k=n+1}^{n+1}k*q^{k-1}=
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+(n+1)q^n=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}+\bruch{(n+1)q^n\red{+}(1-q)^2}{(1-q)^2}[/mm] =
Hallo,
das rotmarkierte + ist verkehrt. Du erweiterst doch, also gehört dort "mal" hin.
Du hast im Beweis die ganze Zeit auf der rechten Seite der Gleichungen die zu zeigende Behauptung mitgeführt.
Wenn Du sowas tust, dann mußt Du zumindest Äquivalenzpfeile zwischen die Gleichungen setzen - falls Du wirklich äquivalente Umformungen machst.
Es ist aber besser (vor allem, weil man beim Beweis von Ungleichungen nicht so viele Fehler macht), wenn man eine Gleichungskette erstellt.
Hier: Start mit [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*q^{k-1}=..=...=...=, [/mm] bis man am Ende die zu zeigende Behauptung dastehen hat:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*q^{k-1}=..=...=...=\bruch{1-((n+1)+1)q^{n+1}+(n+1)q^{(n+1)+1}}{(1-q)^2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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