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Beweis mit Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 28.12.2006
Autor: lene233

Hallo

Also man soll beweisen, dass
[mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|b|} [/mm]

Zunächst gilt die Dreiecksungleichung, also:

|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|

und dann wurde folgendes gemacht:

[mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{1+|a|+||b|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|a|+|b|} [/mm]
        [mm] \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|b|} [/mm]


Nun versteh ich aber nicht, wie man von der vorletzten auf die letzte Zeile kommt. Wie kommen die beiden Nenner zustande?

lg lene


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis mit Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Do 28.12.2006
Autor: Walty


> Hallo
>
> Also man soll beweisen, dass
> [mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]
>  
> Zunächst gilt die Dreiecksungleichung, also:
>  
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
>  
> und dann wurde folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}[/mm] =
> [mm]\bruch{|a|}{1+|a|+||b|}[/mm] + [mm]\bruch{|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]
>          [mm]\le \bruch{|a|}{1+|a|}[/mm] + [mm]\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]
>  
>
> Nun versteh ich aber nicht, wie man von der vorletzten auf
> die letzte Zeile kommt. Wie kommen die beiden Nenner
> zustande?

Man hat eine Abschätzung durchgeführt...
Ausgehend von der Monotonieeigenschaft [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] = streng monoton steigend
[mm] (\bruch{d}{dx}({\bruch{x}{1+x}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(x+1)^2} [/mm] > 0 [mm] \forall x\in \IR [/mm] )
also der Eigenschaft [mm] x_{2}>x_{1} \Rightarrow \bruch{x_{2}}{1+x_{2}}>\bruch{x_{1}}{1+x_{1}} [/mm]

folgt in Verbindung mit der Dreiecksungleichung
[mm]\bruch{|a+b|}{1+ |a+b|}[/mm] [mm] \rightarrow [/mm] (|a+b| ersetzt durch |a|+|b|)

[mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]

dann wird der Bruch in eine Summe von Brüchen äquivalent umgeformt.

[mm]\bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}=\bruch{|a|}{1+|a|+|b|} + \bruch{|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]

Im letzten Schritt gilt, wenn der Nenner eines Bruches verkleinert wird, (etwa durch Weglassen eines Summanden |a|,|b| [mm] \ge [/mm] 0) wird der Bruch größer:

[mm] \bruch{|a|}{1+|a|+ |b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm]
[mm] \bruch{|b|}{1+|a|+ |b|} \le \bruch{|b|}{1+|b|} [/mm]

entsprechend natürlich auch die Summe zweier solcher Brüche, welches den letzten Schritt darstellt:

[mm]\bruch{|a|}{1+|a|+||b|}+\bruch{|b|}{1+|a|+|b|}\le\bruch{|a|}{1+|a|}+\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]


hth

Walty



Bezug
                
Bezug
Beweis mit Dreiecksungleichung: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Do 28.12.2006
Autor: lene233

Danke, jetzt verstehe ich es. Super erklärt :)

lg lene

Bezug
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