Beweis mit Cauchy < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 17.04.2005 | | Autor: | Dummbatz |
Ich brauche mal eure Hilfe! Ich verzweifel noch an der Aufgabe.
Zu Beweisen ist die Funktionalgleichung:
exp(z+w) = exp(z)*exp(w)
Zur Hilfe soll man die Cauchy-Produktformel benutzen:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k} [/mm] =( [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} z^{k}) [/mm] * [mm] (\sum_{k=0}^{\infty} b_{k} z^{k})
[/mm]
Ich habe sowas von keine Ahnung wie ich das unter einen Hut bekommen soll.
Falls mir jemand helfen kann und will, würde ich mich freuen wenn ihr mir das in allen Details erklären könntet. Am besten so präzise wie genau! Es muss ja nicht die ganze Lösung sein. Ich möchte nur einen Ansatz mit dem ich die Aufgabe dann selber lösen könnte.
Schonmal vielen Dank im Vorraus!
MFG Dummbatz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 So 17.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Es gilt bekanntlich [mm] $\left(\summe_{k=0}^{\infty} a_k\right)\left(\summe_{k=0}^{\infty} b_k\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{k} a_i\cdot b_{k-i}$. [/mm] Mit [mm] $a_k=\frac{x^k}{k!}$ [/mm] und [mm] $b_k=\frac{y^k}{k!}$ [/mm] erhältst du sofort das gewünschte Resultat:
[mm] $\left(\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\right)\left(\summe_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{k!}\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{k}\frac{x^i\cdot y^{k-i}}{i!\cdot (k-i)!}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\summe_{i=0}^{k}\vektor{k\\ i}\cdot x^i\cdot y^{k-i}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(x+y)^k}{k!}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Dummbatz |
Danke Hanno,
Musste mich zwar nochmal mit der Fakultät auseinandersetzen, habs aber letztendlich verstanden.
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