Beweis mit Adjunkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Fr 11.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und sei [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] eine Matrix mit det(A)=1. Beweisen Sie, dass [mm] (A^{Ad})^{Ad}=A [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Guten Morgen,
ich habe folgenden Ansatz:
Es gilt
[mm] AA^{Ad}=det(A)I_n[/mm]
Da det(A)=1 ist, gilt
[mm] AA^{Ad}=I_n [/mm]
Jetzt weiss ich nicht weiter, weil ich nicht weiss, wie ich mit [mm] (A^{Ad})^{Ad}[/mm] umgehen muss.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 11.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne
> Sei K ein Körper und sei [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm] eine Matrix mit
> det(A)=1. Beweisen Sie, dass [mm](A^{Ad})^{Ad}=A[/mm] gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Guten Morgen,
> ich habe folgenden Ansatz:
> Es gilt
> [mm]AA^{Ad}=det(A)I_n[/mm]
> Da det(A)=1 ist, gilt
> [mm]AA^{Ad}=I_n[/mm]
Hieraus folgt auch [mm] $\det A^{Ad} [/mm] = 1$.
> Jetzt weiss ich nicht weiter, weil ich nicht weiss, wie
> ich mit [mm](A^{Ad})^{Ad}[/mm] umgehen muss.
Erstmal kannst du ja die gleiche Gleichung mit [mm] $A^{Ad}$ [/mm] anstelle $A$ hinschreiben (da [mm] $\det A^{Ad} [/mm] = 1$ ist geht das ja), dann bekommst du [mm] $A^{Ad} (A^{Ad})^{Ad} [/mm] = [mm] I_n$.
[/mm]
So. Und jetzt denk doch mal an die Eindeutigkeit der Inversen (von [mm] $A^{Ad}$).
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 11.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Hilfe !!
> ja), dann bekommst du [mm]A^{Ad} (A^{Ad})^{Ad} = I_n[/mm].
>
> So. Und jetzt denk doch mal an die Eindeutigkeit der
> Inversen (von [mm]A^{Ad}[/mm]).
?? Das verstehe ich leider nicht ??
Was ist denn die Inverse von [mm] A^{Ad} [/mm] ?
Wenn ich beide Seiten mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziere, erhalte ich
[mm]A^{-1}A^{Ad} (A^{Ad})^{Ad} = A^{-1} [/mm].
[mm] A^{-1} [/mm] hat auch die Determinate 1.
Für [mm] A^{-1} [/mm] kann ich auch schreiben [mm] det(A)^{-1}A^{Ad} [/mm].
Dann erhalte ich
[mm] A^{-1}A^{Ad} (A^{Ad})^{Ad} = 1 \cdot A^{Ad} [/mm].
Und weiter weiss ich nicht ...
Danke, Susanne.
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Hallo,
Du hattest doch wg detA=1
[mm] A^{-1}=A^{ad} [/mm] <==> [mm] E=AA^{ad} [/mm] ==> [mm] detA^{ad}=1
[/mm]
Aus [mm] A^{-1}=A^{ad} [/mm] folgt auch [mm] A=(A^{ad})^{-1}.
[/mm]
Und nun wende [mm] B^{-1}=\bruch{1}{detB}B^{ad} [/mm] auf [mm] B:=A^{ad} [/mm] an!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 11.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela, VIELEN DANK !
> Du hattest doch wg detA=1
>
> [mm]A^{-1}=A^{ad}[/mm] <==> [mm]E=AA^{ad}[/mm] ==> [mm]detA^{ad}=1[/mm]
>
> Aus [mm]A^{-1}=A^{ad}[/mm] folgt auch [mm]A=(A^{ad})^{-1}.[/mm]
>
> Und nun wende [mm]B^{-1}=\bruch{1}{detB}B^{ad}[/mm] auf [mm]B:=A^{ad}[/mm]
> an!
Puh, das verstehe ich leider nicht !
Aber kann ich das so machen:?
[mm]A^{-1}A^{Ad}(A^{Ad})^{Ad}=A^{ad}[/mm]
Wenn ich jetzt auf beiden Seiten sozusagen durch [mm] A^{Ad} [/mm] teile erhalte ich
[mm]A^{-1}(A^{Ad})^{Ad}=I_n[/mm]
und das multipliziere ich mit [mm] A [/mm] und erhalte das Gewünschte
[mm](A^{Ad})^{Ad}=A[/mm]
weil [mm] AA^{-1}=I [/mm] das neutrale Element ist.
Geht das ?
Danke, Susanne.
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> Hallo Angela, VIELEN DANK !
>
> > Du hattest doch wg detA=1
> >
> > [mm]A^{-1}=A^{ad}[/mm] <==> [mm]E=AA^{ad}[/mm] ==> [mm]detA^{ad}=1[/mm]
> >
> > Aus [mm]A^{-1}=A^{ad}[/mm] folgt auch [mm]A=(A^{ad})^{-1}.[/mm]
> >
> > Und nun wende [mm]B^{-1}=\bruch{1}{detB}B^{ad}[/mm] auf [mm]B:=A^{ad}[/mm]
> > an!
> Puh, das verstehe ich leider nicht !
??? Du mußt doch jetzt bloß noch überall dahin, wo B steht, [mm] A^{ad} [/mm] schreiben...
> Aber kann ich das so machen:?
> [mm]A^{-1}A^{Ad}(A^{Ad})^{Ad}=A^{ad}[/mm]
> Wenn ich jetzt auf beiden Seiten sozusagen durch [mm]A^{Ad}[/mm]
> teile
Ogottogott. Durch Matrizen teilt man nicht, sondern man multipliziert mit ihrem Inversen, dessen Existenz hier auch gesichert ist, weil wir wissen, daß die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist.
Wenn Du das tust, erhältst Du [mm] (A^{Ad})^{-1}A^{-1}A^{Ad}(A^{Ad})^{Ad}=(A^{Ad})^{-1}A^{ad}=E.
[/mm]
Im allgemeinen darfst Du Matrizen ja nicht vertauschen.
Wenn Du aus vorhergehenden Überlegungen weißt, daß [mm] A=(A^{ad})^{-1} [/mm] (das ist mir zur Sekunde nicht ganz klar), dann löst sich dieses Problem ja.
Gruß v. Angela
> erhalte ich
> [mm]A^{-1}(A^{Ad})^{Ad}=I_n[/mm]
> und das multipliziere ich mit [mm]A[/mm] und erhalte das
> Gewünschte
> [mm](A^{Ad})^{Ad}=A[/mm]
> weil [mm]AA^{-1}=I[/mm] das neutrale Element ist.
>
> Geht das ?
>
> Danke, Susanne.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Fr 11.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Puh, jetzt ist der Groschen gefallen !
VIELEN VIELEN DANK mal wieder !
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