Beweis minimaler Rang Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Do 21.04.2005 | | Autor: | webbroki |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe auf mehreren Seiten die folgende Aussage zum Rang von Matrizen gefunden: [mm]rang(AB) \le \min \{rang(A),rang(B) \}[/mm].
Kann mir jemand einen Beweis zeigen, warum dies gilt ??
Vom logischen müsste man beweisen, dass sich der Rand einer Matrix nicht erhöhen kann. D.h. die Anzahl der unabhängigen variablen ändert sich nicht.
Ich weiß aber nicht, wie ich das mathematisch formulieren kann :-(
Vielen Dank
Tom
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:40 Do 21.04.2005 | | Autor: | choosy |
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe auf mehreren Seiten die folgende Aussage zum Rang
> von Matrizen gefunden: rang(AB) [mm] \le \min \{rang(A),rang(B) \}
[/mm]
Hi, also wenn man bedenkt, das man die Matrizen A und B auch als lineare Abbildungen zwischen 2 Vektorräumen betrachten kann ist es nicht so schwer.
Der Rang ist dann Nämlich einfach die Dimension des Bildes ( Range oder R(A):
rang(A) = dim R(A)
rang(B) = dim R(B)
Was ist jetzt AB als Abbildung? naja
ABx = A(Bx)) ,x aus dem Vektorraum also gilt hier (wenn wir mal als VR v nehmen:
$R(AB) = A( R(B) ) [mm] \subset [/mm] A(V) = R(A)$
das heist aber $rang AB = dim R(AB) [mm] \leq [/mm] dim R(A) = rang A$
was macht man nun mit B:
nun hat A vollen rang ist A bijektiv, fertig.
hat A nicht vollen Rang ist A nicht surjektiv, weshalb
$dim [mm] R(A|_{R(B)}) [/mm] < R(B)$ ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Fr 22.04.2005 | | Autor: | bazzzty |
Ich versuche es mal möglichst anschaulich, d.h. ohne den Weg über Dimensionen von Bildräumen. Und ich zeige mal nur, daß
[mm]\mathit{rang}(AB)\leq\mathit{rang}(B)[/mm], den anderen Teil kannst Du Dir dann selbst überlegen (denk' über die Transponierte nach!):
Der Rang von [mm]B[/mm] ist gleich dem Spaltenrang, d.h. der maximalen Zahl von lin. unabhängigen Spalten von [mm]B[/mm]. Das heißt, aus [mm]B=(b_1, b_2, \dots, b_m)[/mm] lassen sich [mm]\mathit{rang}(B)[/mm] Spalten [mm]S_B[/mm] so auswählen, daß diese Spalten lin. unabhängig sind, und die restlichen sich als Linearkombinationen ausdrücken lassen.
Die Matrix [mm]AB[/mm] besteht aus den Spalten [mm]\left(Ab_1, Ab_2,\dots)[/mm].
Unabhängig davon, ob die Spalten [mm]S_B[/mm] auf linear unabhängie Vektoren abgebildet wurden oder nicht (das entscheidet über [mm]=[/mm] oder [mm]<[/mm]), die Spalten [mm]Ab_i, i\not\in S_B[/mm] lassen sich immer noch in derselben Weise wie vorher durch Linearkombination der Spalten von [mm]Ab_i, i\in S_B[/mm] darstellen, der Spaltenrang von [mm]AB[/mm] ist also nie größer als der von [mm]B[/mm].
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