Beweis linearer Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | | In einem mindestens 2-dimensionalen linearen Raum M seien Vektoren a und b gegeben. Es sei bekannt, dass die Vektoren u := a + b und v := a − b linear unabhängig sind. Zeigen Sie, dass dann auch die Vektoren a und b selbst linear unabhängig sind. |
Die Vektoren u und v heißen LU, wenn gilt:
[mm] \alpha_{1}*u [/mm] + [mm] \alpha_{2}*v [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \alpha_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} [/mm] = 0
Eingesetzt: [mm] \alpha_{1}*(a+b) [/mm] + [mm] \alpha_{2}*(a-b) [/mm] = 0
...
[mm] a(\alpha_{1}+\alpha_{2}) [/mm] + [mm] b(\alpha_{1}-\alpha_{2}) [/mm] = 0
Ich komme mit der Definition irgendwie nicht weiter. Bin ich auf dem richtigen Weg oder muss ich einen anderen Ansatz wählen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> In einem mindestens 2-dimensionalen linearen Raum M seien
> Vektoren a und b gegeben. Es sei bekannt, dass die Vektoren
> u := a + b und v := a − b linear unabhängig sind. Zeigen
> Sie, dass dann auch die Vektoren a und b selbst linear
> unabhängig sind.
> Die Vektoren u und v heißen LU, wenn gilt:
>
> [mm]\alpha_{1}*u[/mm] + [mm]\alpha_{2}*v[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \alpha_{1}[/mm] =
> [mm]\alpha_{2}[/mm] = 0
>
> Eingesetzt: [mm]\alpha_{1}*(a+b)[/mm] + [mm]\alpha_{2}*(a-b)[/mm] = 0
>
> ...
>
> [mm]a(\alpha_{1}+\alpha_{2})[/mm] + [mm]b(\alpha_{1}-\alpha_{2})[/mm] = 0
>
>
> Ich komme mit der Definition irgendwie nicht weiter. Bin
> ich auf dem richtigen Weg oder muss ich einen anderen
> Ansatz wählen?
Ja. Zu zeigen ist: a und b sind linear unabhängig.
Seien also [mm] \alpha, \beta [/mm] Elemente des zugrunde liegenden Körpers und
(*) [mm] $\alpha*a+ \beta [/mm] *b=0$.
Zeigen sollst Du: [mm] \alpha= \beta=0.
[/mm]
Mach Dir klar, dass gilt:
a= [mm] \bruch{1}{2}(u+v) [/mm] und b= [mm] \bruch{1}{2}(u-v).
[/mm]
Setze dies in (*) ein und verwende, dass u und v linear unabhängig sind.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 25.01.2015 | | Autor: | Canibusm |
Vielen Dank! Das Ausdrücken von a und b durch u und v fehlte mir noch.
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