Beweis k-lineare abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mi 21.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
| Aufgabe |
Seien K ein Körper,
Ax=b
ein lineares Gleichungssystem mit A [mm] \in K^{mxn} [/mm] und b [mm] \in K^m. [/mm] Weiter bezeichne [mm] W_b\subseteq K^n
[/mm]
die Menge der Lösungen des Gleichungssystems. Zeigen Sie:
(a) Im Fall b=0 ist [mm] W_b [/mm] = [mm] W_0 [/mm] ein k-linearer Unterraum von [mm] K^n.
[/mm]
(b) Im Fall [mm] b\not=0 [/mm] ist [mm] W_b [/mm] entweder leer oder ein verschobener Unterraum parallel zu [mm] W_0 [/mm] , d.h. von der Gestalt
[mm] W_b [/mm] = v+ [mm] W_0 [/mm] für ein v [mm] \in K^n. [/mm] |
Ich weiß nicht genau wie ich an die aufgabe heran gehen soll, weil ich nicht weiß was x sein soll, eine unbekannte? und mit dem begriff k-linearer unterraum komme ich auch nicht ganz klar.
Was ist ein verschobener Unterraum???
Wie gesagt, weiß ich nich genau wo ich da anfangen soll und wie man an die aufgabe heran geht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien K ein Körper,
> Ax=b
> ein lineares Gleichungssystem mit A [mm]\in K^{mxn}[/mm] und b [mm]\in K^m.[/mm]
> Weiter bezeichne [mm]W_b\subseteq K^n[/mm]
> die Menge der Lösungen
> des Gleichungssystems. Zeigen Sie:
> (a) Im Fall b=0 ist [mm]W_b[/mm] = [mm]W_0[/mm] ein k-linearer Unterraum von
> [mm]K^n.[/mm]
> (b) Im Fall [mm]b\not=0[/mm] ist [mm]W_b[/mm] entweder leer oder ein
> verschobener Unterraum parallel zu [mm]W_0[/mm] , d.h. von der
> Gestalt
> [mm]W_b[/mm] = v+ [mm]W_0[/mm] für ein v [mm]\in K^n.[/mm]
> Ich weiß nicht genau wie
> ich an die aufgabe heran gehen soll, weil ich nicht weiß
> was x sein soll, eine unbekannte? und mit dem begriff
> k-linearer unterraum komme ich auch nicht ganz klar.
> Was ist ein verschobener Unterraum???
> Wie gesagt, weiß ich nich genau wo ich da anfangen soll und
> wie man an die aufgabe heran geht.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du findest unterhalb des Eingabefensters Eingabehilfen für den Formeleditor, und durch einen Klick auf "Vorschau" kannst Du vor dem Absenden schauen, ob alles so geworden ist wie von Dir geplant.
Das x ist ein Spaltenvektor mit n Komponenten , welcher "gestapelt" die variablen des Gleichungssystems enthält.
Du kannst Ax=b also schreiben als [mm] A\vektor{x_1 \\ x_2\\vdots\\x_n}=b.
[/mm]
Es geht in deiner Aufgabe um die Lösungen eines solchen lin. Gleichungssystems aus m Gleichungen mit n Variablen.
In Aufgabe a) soll b der Nullvektor sein, das GS ist also ein homogenes.
In [mm] W_0 [/mm] sind alle Vektoren versammelt, die das Gleichungssystem lösen, und Du sollst nun zeigen, daß diese Menge ein Untervektorraum v. [mm] K^n [/mm] ist.
Hierzu sind die Untervektorraumkriterien für. [mm] W_0 [/mm] nachzuweisen.
Welche sind das?
Mach nun einen Versuch, diese Kriterien auf [mm] W_0 [/mm] anzuwenden, dann hat man etwas in der Hand, worüber man sprechen kann.
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Was ein verschobener Unterraum ist, ist ja bereits in der Aufgabe erklärt. Es ist so etwas wie die Ebenen und geraden im [mm] \IR^3, [/mm] die nicht durch den Ursprung gehen.
Ich denke aber, daß wir b) getrost zurückstellen können solange, bis Du bei a) etwas land siehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 21.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Das ging aber fix mit der Antwort. so wie ich das jetzt verstanden habe habe ich dann m GS die alle null ergeben. also:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
und die letzte heißt: am1x1+am2x2+....+amnxn=0
was genau ist jetzt W0?
Die Kriterien die erfüllt werden müssen sind doch:
W ungleich null
v,w element W --> v+w element W
v element W, h element K --> hv element W
liege ich da richtig???
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> Das ging aber fix mit der Antwort. so wie ich das jetzt
> verstanden habe habe ich dann m GS die alle null ergeben.
> also:
> a11x1+a12x2+...+a1nxn=0
> und die letzte heißt: am1x1+am2x2+....+amnxn=0
Hallo,
darf ich an den Formeleditor erinnern?
Die Sache wird leserlicher und damit leichter verständlich für den Leser.
Ja, so wie oben sieht das GS aus.
Du mußt es aber nicht lösen.
> was genau ist jetzt W0?
Wie ich gesagt habe: die Menge, die genau alle Lösungen des obigen GSs enthält.
> Die Kriterien die erfüllt werden müssen sind doch:
> W ungleich null leere Menge!
> v,w element W --> v+w element W
> v element W, h element K --> hv element W
> liege ich da richtig???
Völlig richtig.
Nun mußt Du das auf [mm] W_0 [/mm] anwenden.
- Gib ein Element an, welches drin liegt. (Welcher Vektor löst jedes homogene GS?)
- Jetzt die Abgeschlössenheit bzgl +.
Es seien v,w [mm] \in W_0, [/mm] dh. sie lösen das GS.
Also ist Av=0 und Ab=0, und Du mußt nun zeigen, daß auch v+w in [mm] W_0 [/mm] ist, also eine Lösungs des GSs Ax=0 ist.
- Für die Multiplikation mit Skalaren so ähnlich.
Sei [mm] v\in W_0 [/mm] und [mm] \lambda \in [/mm] K.
Zeige, daß [mm] \lambda [/mm] v eine Lösung v. Ax=0 ist. Wenn das der fall ist, ist [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in W_0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 21.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
also [mm] W_0 [/mm] kann nicht leer sein, da der Nullvektor auf jeden Fall Lösung des GS ist.
A(v+w)=0 hab ich auch beweisen können.
nochmal zu [mm] \gamma\in\K [/mm] und [mm] v\inW_0
[/mm]
Av=0 , somit müsste auch gelten dass (Av) [mm] \gamma=0
[/mm]
wie kann ich dass umstellen dass ich zum schluss stehen habe [mm] A(v\gamma)=0 [/mm] ich weiß nicht ob ich das assoziativgesetz hier einfach anwenden darf...
ist dann mit dem ganzen beweisen dass [mm] W_0 [/mm] ein k-lin. Unterraum von [mm] K^n [/mm] ist???
Um dann auch gleich auf aufgabe b) zu kommen , was ist ein verschobener unterraum? parallel zu [mm] W_0? [/mm] ich muss dort bestimmt nur auf [mm] W_b =v+W_0 [/mm] kommen, so wir in der Aufgabenstellung geschrieben oder?
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> also [mm]W_0[/mm] kann nicht leer sein, da der Nullvektor auf jeden
> Fall Lösung des GS ist.
> A(v+w)=0 hab ich auch beweisen können.
> nochmal zu [mm]\gamma\in\K[/mm] und [mm]v\inW_0[/mm]
> Av=0 , somit müsste auch gelten dass (Av) [mm]\gamma=0[/mm]
> wie kann ich dass umstellen dass ich zum schluss stehen
> habe [mm]A(v\gamma)=0[/mm] ich weiß nicht ob ich das
> assoziativgesetz hier einfach anwenden darf...
Hallo,
das Assiziativgesetz ist das eher nicht, aber es geht hier doch ums Rechnen mit Matrizen, und da die matrizen lineare Abbildungen darstellen, ist das ja linear, also [mm] A(\lambda v)=\lambda [/mm] Av.
Such unbedingt, ob Du das in Deinen Unterlagen findest - das sind Dinge, die man wissen sollte.
> ist dann mit dem ganzen beweisen dass [mm]W_0[/mm] ein k-lin.
> Unterraum von [mm]K^n[/mm] ist???
Ja sicher.
Du hast doch zuvor selbst gesagt, was man für "Unterraum" zeigen muß, und das hast Du dann gezeigt.
> Um dann auch gleich auf aufgabe b) zu kommen , was ist ein
> verschobener unterraum?
> parallel zu [mm]W_0?[/mm] ich muss dort
> bestimmt nur auf [mm]W_b =v+W_0[/mm] kommen, so wir in der
> Aufgabenstellung geschrieben oder?
Was ein "verschobener Unterraum" ist, steht wie gesagt in der Aufgabenstellung,
und ich hatte es Dir ja auch bereits erklärt:
>> Es ist so etwas wie die Ebenen und Geraden im $ [mm] \IR^3, [/mm] $ die nicht durch den Ursprung gehen.
Bei Aufgabe b), beim nichthomogenen GS, sollst Du zeigen, daß sich die Lösungsmenge v. Ax=b - sofern sie nichtleer ist - ergibt als Summe der Lösungsmenge des homogenen Systems [mm] (W_0) [/mm] und einem speziellen Lösungsvektor v.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Sa 24.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Zu Aufgabe b) habe ich nochmal ein paar ganz allgemeine Fragen:
Die Lösungsmenge [mm] W_b [/mm] , wovör steht die genau? Für alle b? x ist doch ein beliebiger Vektor, den ich dort einsetzen kann, oder? Welche Größen sind in dem Gleichungssystem veränderlich und welche Größen bleiben immer gleich, egal was man einsetzt?
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> Zu Aufgabe b) habe ich nochmal ein paar ganz allgemeine
> Fragen:
> Die Lösungsmenge [mm]W_b[/mm] , wovör steht die genau? Für alle b?
Hallo,
nein, [mm] W_b [/mm] steht für die Lösungsmenge der Gleichung Ax=b,
also für die Menge aller Vektoren x, die man da so einsetzen kann, daß die Gleichung stimmt.
> x ist doch ein beliebiger Vektor, den ich dort einsetzen
> kann, oder?
x ist die Variable. Er besteht aus den "gestapelten" Variablen [mm] x_1, ...x_n [/mm] des Systems.
> Welche Größen sind in dem Gleichungssystem
> veränderlich und welche Größen bleiben immer gleich, egal
> was man einsetzt?
A und b sind zwar beliebig, aber fest, also nicht variabel.
A enthält die Koeffizienten des Gleichungssystems und b die "Zahlen rechts v. Gleichheitszeichen".
In
[mm] 2x_1+3x_2=8
[/mm]
[mm] 4x_1+6x_2=16
[/mm]
wäre [mm] A=\pmat{ 2 & 3 \\ 4 & 6 } [/mm] und [mm] b=\vektor{8 \\ 16},
[/mm]
und suchen würden wir die Menge aller [mm] x=\vektor{x_1 \\ x_2}, [/mm] welche das GS lösen. Das wäre dann [mm] W_{\vektor{8 \\ 16}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 24.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Also ist x in Vektor und b auch. Waru steht dann in der Aufgabenstellung b [mm] \in K^m? [/mm] Naja, ich ignoriere das mal ganz gekonnt und gehe davon aus, dass b ein Vektor ist. Ich habe folg. Lösungsidee:
Ax=b
also ist Ax= b +0
Ax-b=0
Das was hier für [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] herauskommt ist ja sozusagen [mm] W_b.
[/mm]
[mm] W_b=0
[/mm]
[mm] W_0 [/mm] unterscheidet sich somit von der Lösungsmenge der [mm] W_b [/mm] um den Vektor b. Also müsste man um von [mm] W_0 [/mm] auf [mm] W_b [/mm] zu kommen den Vektor b subtrahieren, sodass:
[mm] W_b [/mm] = [mm] W_0 [/mm] + (-b)
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> Also ist x in Vektor und b auch.
Ja.
> Waru steht dann in der
> Aufgabenstellung b [mm]\in K^m?[/mm] Naja, ich ignoriere das mal
> ganz gekonnt
Ich möchte das nicht ignorieren.
Wo liegt Dein Problem? Wo siehst Du einen Widerspruch?
In [mm] K^m [/mm] sind sämtliche Spaltenvektoren mit m Komponenten, deren Einträge aus K sind.
> und gehe davon aus, dass b ein Vektor ist.
Wie in der Aufgabenstellung geschrieben.
Zu Deiner Lösungsidee:
die ist sicher noch nicht ganz ausgegoren, obgleich Du es in endlicher Zeit sicher zurechtbiegen könntest.
Mit b=b+0 hast Du jedenfalls einen wichtigen Gedanken ins Spiel gebracht.
Ich will Dir ein Paar Hinweise geben.
Es sei zu lösen Ax=b, und es sei [mm] W_b [/mm] nichtleer.
(Das ist nicht selbstverständlich, es gibt ja inhomogene GSe, die keine Lösung haben).
Wenn [mm] W_b [/mm] nichtleer ist, gibt es einen Vektor v, welcher das System löst.
Nun nimm Dir mal ein [mm] x\in W_0 [/mm] und berechne A(x+v).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 25.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Ja, ich habe nun v als Lösung von [mm] W_b [/mm] und x als Lösung von [mm] W_0. [/mm] Das kann man ja nun unterschiedlich aufschlüsseln:
z.B. Ax+Av=0+b , weil [mm] W_0 [/mm] ja = als Lsg. und [mm] W_b [/mm] b als Lösung hat. Man kann es auch in der Matrize schreiben, inen man a_11 [mm] (x_1 [/mm] + [mm] v_1) [/mm] usw halt in der ganzen Matrize oder auch das a_11 mit dem Distributvgesetz mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] multiplizieren, sodass a_11 [mm] x_1 [/mm] + a_11 [mm] v_1 [/mm] .
Es gibt also verschrieden Schreibweisen. Doch wie kommt man nun darauf, dass [mm] W_b [/mm] = v + [mm] W_0? [/mm] Das heißt was kann ich mit [mm] W_b [/mm] oder [mm] W_o [/mm] ersetzen?
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> Ja, ich habe nun v als Lösung von [mm]W_b[/mm] und x als Lösung von
> [mm]W_0.[/mm] Das kann man ja nun unterschiedlich aufschlüsseln:
> z.B. Ax+Av=0+b , weil [mm]W_0[/mm] ja = als Lsg. und [mm]W_b[/mm] b als
> Lösung hat.
Hallo,
ich schreibe zunächst noch einmal die Aufgabe auf:
"(b) Im Fall $ [mm] b\not=0 [/mm] $ ist $ [mm] W_b [/mm] $ entweder leer oder ein verschobener Unterraum parallel zu $ [mm] W_0 [/mm] $ , d.h. von der Gestalt
$ [mm] W_b [/mm] $ = v+ $ [mm] W_0 [/mm] $ für ein v $ [mm] \in K^n. [/mm] $"
Wir interessieren uns für den Lösungsraum [mm] W_b [/mm] von Ax=b.
Die Behauptung lautet: der Lösungsraum ist entweder leer, oder es ist [mm] W_b= v+W_0 [/mm] für ein spezielles [mm] v\in K^n, [/mm] dabei ist [mm] W_0 [/mm] der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems.
Für den Beweis gehen wir davon aus, daß Ax=b eine Lösung hat. (Sonst ist [mm] W_b=\emptyset.)
[/mm]
Auch wissen wir, daß Ax=0 auf jeden Fall einen nichtleeren Lösungsraum hat.
Wir müssen zeigen:
A. [mm] W_b\subseteq v+W_0
[/mm]
B. [mm] v+W_0\subseteq W_b
[/mm]
Wenn Ax=b einen nichtleeren Lösungsraum hat, gibt es ein v mit Av=b.
Zu B.:
Du hast oben gezeigt, daß jeder Vektor y:=v+x mit [mm] x\in W_0 [/mm] das System löst.
Also ist [mm] v+W_0 \subseteq W_b.
[/mm]
Nun muß man sich noch überlegen, ob jede Lösung diese Gestalt hat.
zu A.:
Sei z eine Lösung v. Ax=b, d.h. Az=b.
Es ist z=v+(b-z),
und wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß b-z [mm] \in W_0, [/mm] dann hast Du gezeigt, daß jede Lösung in [mm] v+W_0 [/mm] liegt.
Abschließend noch eins: sag nie wieder Matrize, wenn Du eine Matrix meinst. Matrize ist was anderes.
Gruß v. Angela
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