Beweis k-lineare Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 21.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] \alpha \in [/mm] K ein Element und f die Abbildung
f: K--> K, x [mm] \rightarrow \alpha [/mm] x.
Beweisen Sie folg. Aussagen:
(i) Die Abbildung ist k-linear.
(ii) Jede K-lineare Abbildung K [mm] \rightarrow [/mm] K hat die angegebene Gestalt. |
K ist ja hier der Vektorraum, also kann ich bei den gegeben Def. , z.B. KxV [mm] \rightarrow [/mm] K V durch K ersetzen, weil es ja die Aufgabenstellung so verlangt?
Um nachzuweisen, dass es k-linear ist, muss ich also nachweisen:
f(kv+k'v')=k f(v)+ k' f(v')
f(kv)=k f(v)
mit k,v [mm] \in [/mm] K
Ist diese Annahme schonmal richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 21.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst hier keinen Vektorraum, sondern einfach nur den Körper K
deshalb die Elemente auch besser x,y nennen (das ist aber Geschmackssache, alle Buchstaben sind zulässig)
Und ja , du musst die 2 Gesetze nachweisen. für den ersten Teil der Aufgabe. Dabei solltest du die entsprechenden Körperaxiome benennen, die du verwendet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 21.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
also wenn ich als erstes f(kv+k´v´)=k f(v)+k` f(v`) nachweisen will:
LHS= f(kv+k´v´)
= f(kv) + f(k`v`) Distributivgesetz?
Wie bekomme ich dann das k vor die klammer?
und bei f(kv)=k f(v)
die gleiche frage auch hier, wie bekomme ich das k vor die klmmaer, kann man da einfach das DG benutzen?
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> und bei f(kv)=k f(v)
> die gleiche frage auch hier, wie bekomme ich das k vor die
> klmmaer, kann man da einfach das DG benutzen?
Hallo,
Du betrachtest doch gerade eine ganz konkrete Funktion, welche durch
[mm] x\mapsto \alpha [/mm] x
erklärt ist.
Was ist dann dann bitteschön f(kv)? Du kannst das a u s r e c h n e n !
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Do 22.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Um nachzuweisen, dass es eine lineare Abbildung ist, muss ich doch aber nachweisen, dass
f( [mm] \alpha [/mm] x1 + [mm] \alpha [/mm] x2) = [mm] \alpha [/mm] f(x1) + [mm] \alpha [/mm] f(x2) und
f ( [mm] \alpha [/mm] x) = [mm] \alpha [/mm] f(x)
Das ist doch die Definition von lin. Abb.
und meine frage war nun wie man das [mm] \alpha [/mm] vor die klammer bekommt, ob es da bestimmte gesetze gib?
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> Um nachzuweisen, dass es eine lineare Abbildung ist, muss
> ich doch aber nachweisen, dass
> f( [mm]\alpha[/mm] x1 + [mm]\alpha[/mm] x2) = [mm]\alpha[/mm] f(x1) + [mm]\alpha[/mm] f(x2)
> und
> f ( [mm]\alpha[/mm] x) = [mm]\alpha[/mm] f(x)
> Das ist doch die Definition von lin. Abb.
> und meine frage war nun wie man das [mm]\alpha[/mm] vor die klammer
> bekommt, ob es da bestimmte gesetze gib?
Hallo,
jetzt machst Du gerade Chaos, merkst Du das?
Wenn Du hier in dem Zusammenhang ausgerechnet den Buchstaben [mm] \alpha [/mm] verwendest, wo es doch sooo viele andere gibt, arbeitest Du fleißig daran, Dich selbst verrückt zu machen, denn [mm] \alpha [/mm] ist doch ausgerechnet DER Buchstabe, der in der Funktionsvorschrift Deiner Funktion vorkommt....
Deine ursprüngliche Frage lautete ja, wie Du f(kv+k´v´)=k f(v)+k` f(v`) zeigst, also die Linearität.
Und ich sagte sinngemäß: wende die Funktionsvorschrift auf f(kv+k´v´) an.
f(kv+k´v´)= ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Sa 24.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
So, Aufgabe a) habe ich nun rausbekommen. Bei Aufgabe b) weiß ich jedoch nicht genau, was man dort zeigen soll. Jede k-lineare Abb. hat die angegebene Gestalt f(x)= [mm] \alpha [/mm] x . Aber wie sol ich mir das vorstellen, das nachzuweisen?
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> So, Aufgabe a) habe ich nun rausbekommen. Bei Aufgabe b)
> weiß ich jedoch nicht genau, was man dort zeigen soll. Jede
> k-lineare Abb. hat die angegebene Gestalt f(x)= [mm]\alpha[/mm] x .
> Aber wie sol ich mir das vorstellen, das nachzuweisen?
Hallo,
es sei f: [mm] K\to [/mm] K
eine K-lineare Abbildung.
Das bedeutet ja, daß für alle a,b [mm] \in [/mm] K gilt f(a+b)=f(a)+f(b)
und für alle [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] f(\lambda a)=\lambda [/mm] f(a).
Überlege Dir nun folgendes:
duch die Abbildung f wird der 1 ein Funktionswert zugewiesen.
Des weiteren bedenke, daß Du jedes [mm] x\in [/mm] K schreiben kannst als x*1.
Mit diesen Hinweisen - es sind eigentlcih schon Schläge mit dem Zaunpfahl - solltest Du die Lösung finden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Danke! Das Umformen ist hier wohl eher das geringere Probem, ich weiß nur nicht wie ich dann von f(x) auf [mm] \alpha [/mm] x kommen kann, weil ih nicht von Der Behauptung ausgehen kann.
was kann man noch für f(x) schreiben ohne f, sodass ich dann auf [mm] \alpha [/mm] x kommen kann?
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> was kann man noch für f(x) schreiben ohne f, sodass ich
> dann auf [mm]\alpha[/mm] x kommen kann?
Hallo,
ob das Ding [mm] \alpha [/mm] heißt, [mm] \zeta [/mm] oder "Türklinke" ist herzlich wurscht.
Wesentlich ist:
wenn Du eine Abbildung f:K-->K definierst,
wird der 1 ein Wert zugewiesen.
Es sei f(1):= k für ein [mm] k\in [/mm] K.
So, nun mach weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 25.11.2007 | | Autor: | easy2311 |
Vielen Dank, habe die lösung nun herausbekommen!
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