Beweis: injektiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für eine Menge [mm] $A={a_1, a_2, ... a_n}$ [/mm] mit endlich vielen Elementen bezeichnet man $|A|:= n$ die Anzahl ihrer Elemente.
Sei [mm] $f:X\toY$ [/mm] eine Abbildung zwischen zwei Mengen mit $|A| := k$ und |Y|=l (kleingeschriebenes L). Zeigen Sie die folgenden Behauptungen:
a) Ist f injektiv, dann gilt [mm] $|X|\le|Y|$ [/mm] |
Hi,
ich weiß, dass es so ist (mit gesundem Menschenverstand) aber ich kann es mathematisch wiedermal nicht ausdrücken!
Meine Überlegungen:
Es ist so, weil wenn jedes bei Injektivität jedem Element $x [mm] \in [/mm] X$ max. ein Element $y [mm] \in [/mm] Y$ zugeordnet wird. Deshalb ist die Menge $|X| [mm] \le [/mm] |Y| [mm] \Rightarrow |X|\subseteq|Y|$.
[/mm]
Aber wie beweise ich das? :(
Gruß Thomas
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Fr 17.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Sei [mm]f:X\toY[/mm] eine Abbildung zwischen zwei Mengen mit [mm]|A| := k[/mm]
du meinst hier |X|=k , oder ?!?
> ich weiß, dass es so ist (mit gesundem Menschenverstand)
> aber ich kann es mathematisch wiedermal nicht ausdrücken!
>
Dann mal ein ganz toller Tip:
Wenn etwas rein anschaulich und logisch klar ist, dann versuche es mal mit Widerspruch zu beweisen !
> Meine Überlegungen:
>
> Es ist so, weil wenn jedes bei Injektivität jedem Element [mm]x \in X[/mm]
> max. ein Element [mm]y \in Y[/mm] zugeordnet wird. Deshalb ist die
> Menge $|X| [mm] \le [/mm] |Y| $
bis hierhin sagst du nichts anderes als nochmal die Behauptung - du hast keine Gründe bisher genannt.
>$ [mm] \Rightarrow |X|\subseteq|Y|$
[/mm]
und das ergibt keinen Sinn, wie kann eine Zahl als Menge in einer anderen enthalten sein?
Setze doch mal so an:
Sei f injektiv, angenommen es wäre $k=|X|>|Y|=l$ (aber beide endlich)
was folgt nun aus dem Schubfachprinzip, wenn man k Dinge auf l Schubfächer verteilen will, wenn l<k ist?
viele Grüße
DaMenge
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Hi DaMenge, also
> Hi,
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> > Sei [mm]f:X\toY[/mm] eine Abbildung zwischen zwei Mengen mit [mm]|A| := k[/mm]
>
> du meinst hier |X|=k , oder ?!?
>
>
> > ich weiß, dass es so ist (mit gesundem Menschenverstand)
> > aber ich kann es mathematisch wiedermal nicht ausdrücken!
> >
>
>
> Dann mal ein ganz toller Tip:
> Wenn etwas rein anschaulich und logisch klar ist, dann
> versuche es mal mit Widerspruch zu beweisen !
>
>
> > Meine Überlegungen:
> >
> > Es ist so, weil wenn jedes bei Injektivität jedem Element [mm]x \in X[/mm]
> > max. ein Element [mm]y \in Y[/mm] zugeordnet wird. Deshalb ist die
> > Menge [mm]|X| \le |Y|[/mm]
>
> bis hierhin sagst du nichts anderes als nochmal die
> Behauptung - du hast keine Gründe bisher genannt.
>
> >[mm] \Rightarrow |X|\subseteq|Y|[/mm]
>
> und das ergibt keinen Sinn, wie kann eine Zahl als Menge in
> einer anderen enthalten sein?
>
> Setze doch mal so an:
> Sei f injektiv, angenommen es wäre [mm]k=|X|>|Y|=l[/mm] (aber beide
> endlich)
> was folgt nun aus dem Schubfachprinzip, wenn man k Dinge
> auf l Schubfächer verteilen will, wenn l<k ist?
wenn ich k Dinge auf l Schubfdächer verteilen will und gilt l<k, dann bleiben einige k übrig. Aber wie kann ich das jetzt beweisen? :-(
Danke für deine Hilfe!
>
> viele Grüße
> DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 17.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> wenn ich k Dinge auf l Schubfdächer verteilen will und gilt
> l<k, dann bleiben einige k übrig. Aber wie kann ich das
> jetzt beweisen? :-(
>
wenn du k Dinge auf l Schubfächer verteilst und es gilt, dass l<k, dann liegt in mindestens einem Schubfach mindestens zwei Dinge...
Das musst du nicht beweisen, das ist das ![[]](/images/popup.gif) Schubfachprinzip und darf höchst wahrscheinlich vorrausgesetzt werden.
(zur not steht aber im Link auch ein kurzer beweis^^)
die eigentlich Frage ist jetzt : wie kann man das hier anwenden, so dass ein Widerspruch zur injektivität folgt?
viele Grüße
DaMenge
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> Hi,
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>
> > wenn ich k Dinge auf l Schubfdächer verteilen will und gilt
> > l<k, dann bleiben einige k übrig. Aber wie kann ich das
> > jetzt beweisen? :-(
> >
>
> wenn du k Dinge auf l Schubfächer verteilst und es gilt,
> dass l<k, dann liegt in mindestens einem Schubfach
> mindestens zwei Dinge...
> Das musst du nicht beweisen, das ist das
> Schubfachprinzip
> und darf höchst wahrscheinlich vorrausgesetzt werden.
> (zur not steht aber im Link auch ein kurzer beweis^^)
>
> die eigentlich Frage ist jetzt : wie kann man das hier
> anwenden, so dass ein Widerspruch zur injektivität folgt?
Mir fällt keiner ein, da diese Aussage meiner Meinung nach wahr ist. Kannst du mir einen Tip geben, dann sehe ich nach?
Das Schubfachprinzip kannte ich bisher nicht. Noch nie etwas davon gehört, ich werde mich jetzt damit mal befassen.
Danke!
>
> viele Grüße
> DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
welche Aussage scheint für dich wahr zu sein?
Wir versuchen das doch hier gerade durch Widerspruch zu beweisen, also sei f injektiv und angenommen es wäre l<k
wenn l die anzahl der Schubfächer ist (bei uns also die anzahl der möglichen Bilder) und k die anzahl der Dinge, die wir auf die Schubfächer verteilen wollen (also die Werte in X, die wir auf die Bilder abbilden wollen), was folgt dann nach dem Schubfachprinzip?
wieso steht das im Widerspruch zur Injektivität ?!?
wenn wir also einen Widerspruch erzeugt haben, kann unsere annahme (dass l<k) nicht richtig gewesen sein, also ist damit bewiesen : wenn f injektiv, dann [mm] $k\le [/mm] l$
musst dir also noch den kleinen Schritt überlegen..
viele Grüße
DaMenge
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